自然數n以3除之餘2.以5除之餘3.以七除之餘4.n最小?難

Question

一自然數n以3除之餘2..以5除之餘3..以七除之餘4..求n最小=?.第二小=?
盡量詳細一點 = = 老師說的我聽不懂
很難 獎15點

Answer 1

令 n=3a+2=5b+3=7c+4
其中 a,b,c為整數。
1.
由 3a+2=5b+3得
a=b+(2b+1)/3
∵ a,b為整數
∴ 3整除2b+1
b之最小正整數解為1
∴ 其通解為 b=3d+1 ，其中 d為整數。
代入 n=5b+3得
n=5(3d+1)+3=15d+8
2.
由 15d+8=7c+4得
c=2d+(d+4)/7
∵ c,d為整數
∴ 7整除d+4
d之最小正整數解為3
∴ 其通解為 d=7e+3 ，其中 e為整數。
代入 n=15d+8得
n=15(7e+3)+8=105e+53

∵ n為自然數
∴ n最小為53(e=0時)
第二小為161(e=1時)

Answer 2

參考這題
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306032710035
故N=15*4+21*3-35*2=60+63-70=53
這是最小的，第二小的再加105，158

2006-09-20 00:33:12 補充：
姚老師：
70太大啦！
你怎麼不說35是5和7的公倍數當中除以3不足1的最小數呢？

2006-09-20 19:31:05 補充：
取35，是餘數乘以負35吧！？
有一整數N,用3除餘a,用5除餘b,用7除餘c，則N=15c+21b-35a就會符合條件
-35a除以3，餘數必然是a，如果一直用加的，數字很容易變得太大，所以最好插進來一個減的。

Answer 3

可以用高中的”中國剩餘定理”來算嗎？以3除之餘2..２乘以７０＝１４０以5除之餘3..３乘以２１＝６３以七除之餘4..４乘以１５＝６０１４０＋６３＋６０＝２６３（第三小）２６３－１０５＝１５８（第二小）１５８－１０５＝５３（最小）之所以要乘以７０，是因為７０是５和７的公倍數當中除以３餘１的最小數同理２１是取３和７的公倍數中除以５餘１的最小數１５是取３和５的公倍數中除以７餘１的最小數因為３，５，７的最小公倍數是１０５，所以得到的最小數加上１０５的倍數即可得到再大一些的數

2006-09-20 00:50:57 補充：
取70的原因是因為這樣乘以餘數才會剛好符合條件呀~如果取35(不足1),那就要反過來餘數是1的要乘以2,還不一樣是70?