數學-向量座標問題

Question

1.座標平面上有一點A(-2，5)及向量a=(-3，-4)，若點A沿著向量a的方向移動3個單位長至點B，則B點之座標為

2.在x y平面上有一直線L:2x-y+1=0及兩定點A(1，-1)，B(3，2)，若點P在L上，使
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PA=PB，則P點之座標為

3.已知平面上四點A(a，1)，B(3，5)，C(b，3)，D(5，c)，若ABCD為菱形，則(a，b，c)=

1.已自行解出

Answer 1

向量：我們改用中括號表示--> 向量a = [-3,-4]1. 設 B 點之座標為 (Xb,Yb)，則(1) 向量AB = [Xb-(-2),Yb-5] = [Xb+2,Yb-5](2) A沿著向量a的方向移動3個單位長至點 -->向量AB = 3[-3,-4](3) [Xb+2,Yb-5] = 3[-3,-4] = [-9,-12]　　Xb+2 = -9  --> Xb = -11　　Yb-5 = -12 --> Yb = -7　　B 點之座標為 (-11, -7)2. 這種求距離的題目，要先求直線 L : 2x - y + 1 = 0 的參數式(1) 直線 L 參數式：x = t　　　　　　　　　 y = 1+2t(2) 設 P 點之座標為 (Xp,Yp) = (tp,1+2tp)(3) 線段PA = 線段PB 　　--> (1-tp)2+(-1-(1+2tp))2 = (3-tp)2 + (2-(1+2tp))2　　--> 1-2tp+tp2 + 4+8tp+4tp2 = 9-6tp+tp2 + 1-4tp+4tp2　　--> 5 + 6tp = 10 - 10t　　--> 16tp = 5 --> tp = 5/16　　P 點之座標為 (5/16,13/8)

2006-09-16 13:46:37 補充：
3.因為 ABCD 為菱形，也是平行四邊形(1) 所以向量AB = 向量DC　向量AB = [3-a, 5-1] = [3-a, 4]　向量DC = [b-5, 3-c]　因為 3-c = 4 -- c = 3 - 4 = -1(2) 線段AB = 線段DC-- (3-a)^2 = (b-5)^2(3) 向量AD = 向量BC-- (5-a)^2 = (b-3)^2

Answer 2

2.設P點座標為(a,b)且2a-b+1=0----(1)(因為點P在直線L上)
∵線段PA=線段PB
∴(a-1)^2+(b+1)^2=(a-3)^2+(b-2)^2 => 4a=6b=11----(2)
將(1)和(2)解聯立可得到a=5/16、b=13/8

3.菱形的特性為四邊相等且對角線互相垂直平分
由四點座標可推測線段AB⊥線段CD，線段AD=線段DB=線段BC=線段CA
因此，向量ABx向量CD=(0,0)=>(3-a,4)(5-b,c-3)=(0,0)=>(15-3b-5a+ab,4c-12)=(0,0)
求得15-3b-5a+ab=0及c=3
∵線段AC=線段DB
∴(a-b)^2+(1-3)^2=(3-5)^2+(5-c)^2=>(a-b)^2=4=>(a-b-2)(a-b+2)=0
1)設a-b-2=0=>a=b+2
15-3b-5(b+2)+(b+2)b=0=>(b-1)(b-5)=0=>b=1or5
(1)若b=1，則a=3，四點A(3,1)、B(3,5)、C(1,3)、D(5,3)
(2)若b=5，則a=7，四點A(7,1)、B(3,5)、C(5,3)、D(5,3) ----->不合
2)設a-b=2=0=>a=b-2
15-3b-5(b-2)+(b-2)b=0=>(b-5)^2=0=>b=5
b=5，則a=7，四點A(7,1)、B(3,5)、C(5,3)、D(5,3) ----->不合
∴(a,b,c)=(3,1,3)