等面積之圓形和正方形中心疊合,求交集面積為??

Question

等面積之圓形和正方形中心疊合,求交集面積為??
[已知]圓面積=正方形面積=兀

煩請附上過程,謝謝

Answer 1

設圓O與正方形ABCD之中心疊合。
圓O交AB於EF兩點。
過O作AH垂直EF於H。

圓面積=pi*OE^2=pi ∴OE=OF=1

正方形面積=AB^2=pi ∴AB=根號pi
∴OH=AB/2=(根號pi)/2

則EH=FH=根號(OE^2-OH^2)=根號[1-(pi/4)]=根號[(4-pi)/4]=[根號(4-pi)]/2
∴EF=2EH=根號(4-pi)

By餘弦定理，三角形OEF中，
cos(角EOF)=(OE^2+OF^2-EF^2)/(2OE*OF)=(pi-2)/2
∴ 令 角EOF=a=cos^-1[(pi-2)/2]

小弓形EF面積=扇形OEF面積-三角形OEF面積=1*1*a/2-根號(4-pi)*(根號pi)/2*1/2
=a/2-根號(4pi-pi^2)/4

所求=圓面積-4*小弓形EF面積=pi-2a+根號(4pi-pi^2)
其中 a=cos^-1[(pi-2)/2]

2006-09-19 01:40:05 補充：
1.
a^2 = 1^2 - (√π / 2)^2 = 1 – π/4


所以 a = √（1 – π/4）

2.
扇形夾角 = 2 x arccos (√π / 2)
扇形面積為 1/2 x 1 x 1 x 2 x arccos (√π / 2)]=arccos (√π / 2)]

2 x arccos(√π / 2)]=arccos[(π-2)/ 2]

2006-09-21 04:01:31 補充：
To 「我是我」，有幾個算式好像寫錯了，如上所述。