數學雙根號的化簡問題

Question

√(8-2√7)=√(√7-√1)^2=√7-1
然後我在想
√(-3)^2=3 也就是這樣是正的出來
所以是不是可以
√(8-2√7)=√(√1-√7)^2
就算(√1-√7)為負的 可是有次方再開出來一樣是正的阿?

Answer 1

這樣想也不是沒有道理
只不過當初數學家在定義 √ 的時候
就有規定說在經過 √ 運算過後的數都必須要是正數或零才可以
所以雖然 √(8-2√7)=√(√1-√7)^2 這個數學式是合理的
但是因為結果一定要是正的，所以你也必須要乖乖把它變回 √(√7-√1)^2 才行唷
這樣講可以嗎？

2006-09-12 21:58:18 補充：
補充說明一下。上面的話講清楚一點就是說 √(8-2√7)=√(√1-√7)^2 這個數學式是合理的但是因為數學家定義的問題所以開根號出來的結果就必須是 √7-√1 才是正解這樣講你能瞭解嗎？

Answer 2

√(8-2√7)=√(√1-√7)^2=√(√7-√1)^2
這個等式成立，但因為√(8-2√7)是正數，所以開出來也必須是正數，所以只能等於√7-√1，而不能等於√1-√7。
有興趣的話，你可以試著化簡√(2√7-8)。

Answer 3

定義：√a=a的「正」平方根(即x^2=a之正實根)，其中a必須是正數。
∴√a^2=a的絕對值(取正值)
√(8-2√7)=√(√1-√7)^2=(√1-√7)的絕對值=√7-√1

Answer 4

交換律不一定成立！例如 √(8-2√7) = √(1 - √7)2 = √(√7 - 1)2--> 這種情況下，交換律成立！但是並不代表 √7 - 1 = 1 - √7，因為交換律不一定成立！所以 "就算(√1-√7)為負的，可是有次方再開出來一樣是正的阿？"這個結論不一定成立！