(工程數學)Fourier積分的小問題

Question

題目如下
http://home.pchome.com.tw/love/carnivorous/Mathematics/fourier.pdf
請高手们教學一下
謝謝

多謝cgkm的回答
我在問一個
請問Fourier跟Laplace的優缺點

Fourier 可視為 雙邊Laplace 的特例
應該是Laplace是Fourier特例才對
因為Laplace transform pair
可以用Fourier証出(今天老師說的)
問一下dy/dt+10y=｜sin120πt｜
為什麼不能用積分表示????
還有這個週期怎麼看阿!!!!

Answer 1

δ-"函數" 的性質：∫R f(ω) δ(ω-ξ) dω = f(ξ)所以∫R eiωt (δ(ω-n) + δ(ω+n)) dω
= ∫R eiωt δ(ω-n) dω + ∫R eiωt δ(ω+n) dω = eiωt|ω=n + eiωt|ω=-n
= eint + e-int

故r(t) = (2π)-1 ∫R  ∑n=1,3,5,... 4n-2 eiωt (δ(ω-n) + δ(ω+n)) dω= (2π)-1 ∑n=1,3,5,... 4n-2 ∫R eiωt (δ(ω-n) + δ(ω+n)) dω = (2π)-1 ∑n=1,3,5,... 4n-2(eint + e-int).

2006-09-08 00:07:11 補充：
* Fourier: 的 ω 代表實數頻率，Laplace 的 s 代表複數頻率
* Fourier 通常用雙邊的 (-∞,∞)，Laplace 通常用單邊的(0-,∞)
* Fourier = 雙邊 Laplace (-∞,∞) 代入 s = iω
所以 Fourier 可視為 雙邊Laplace 的特例

所以其實功能差不多，要看題目才知道哪個比較合適。

2006-09-09 15:05:49 補充：
勉強可以這樣說，但一般視 Fourier 為 Laplace 的特例。

dy/dt+10y=|sin 120πt|
故 dy/dt 連續；可以用積分表示！
d/dt[ye^10t]=e^10t |sin 120πt|
y(t) = e^(-10t)(y(0) + ∫[0,t] e^10τ |sin 120πτ| dτ)