數學的極限~~問了第2次了...請各位幫幫忙

Question

定義：假設 f(x) 是一個函數，a、b為兩實數。
若對任意數ε大於 0，存在一個δ 大於 0，若 0 小於 | x - a | 小於 d ，x∈D of f(X)，恆有 | f(x) - b | 小於 ε→ 則稱函數f(x) 在a之極限值存在，其值為b。
我想問的問題很怪，就是定義是說任意數ε大於 0，存在一個δ 大於 0
那為什麼不是任意數δ大於 0，存在一個 ε大於 0呢?
這樣逆推為什麼會錯呢?
很多證明題用這個定義都可以迎刃而解，可是我覺得我只是背定義去證明題目，卻不知道他這樣定義的真正用意，這樣用起來我會覺得很心虛...有誰能明確說明為什麼是這樣定義的呢?謝謝!!!

Answer 1

給一篇我之前在 bbs 的回文
先來回顧一下極限的定義 :
lim_(x 趨近於 a) f(x) = L
當上面的等號成立時的定義是 :

for any e 大於 0, there is d = d(e) 大於 0 such that
|f(x)-L| 小於 e whenever 0 小於 |x-a| 小於 d

中文可以這麼解釋，任意給我一個誤差 e (for any e 大於 0)，
我都可以找到一個測量標準 d (there is d = d(e) 大於 0)，
讓目標出來的值與 L 這個數的差控制在允許誤差內 (such that |f(x)-L| 小於 e)，
只要我們恆在 (a-d,a+d) - {a} 這個測量標準上去看 (whenever 0 < |x-a| 小於 d)。

而當我們要證明，例如 x^2 趨近於 4 當 x 趨近於 2 時，
意思就是隨便給誤差 e，我要把這個測量的標準 d (依賴於 e 的值) 找出來，
或許剛開始接觸這種證明會沒有什麼想法，
但是不管再怎樣矇懂也不要忘了定義，它可以讓你寫出一點東西 :P
|x^2 - 4| 小於 e 這是我想要的結果，但是 d 要怎麼找 ?

|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於等於 e

恩，希望可以有上面那樣，但是 |x+2| 有點麻煩，如果 |x+2| 是常數就很好，
那不妨先假設我們要找的測量標準 d 可以滿足 |x+2| 小於 1，那就變成
|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於 d 小於等於 e whenever -5 小於 x-2 小於 -3
但是 -5 小於 x-2 小於 -3 這個樣子不好，和定義差很多，如果讓 |x+2| 小於 5 呢 ?

|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於 5d 小於等於 e whenever -9 小於 x-2 小於 1

觀察上面我們發現此時無論誤差 e 是多少只要我們把測量標準 d 取不大於 e/5 就行了，也就是 0 小於 |x-2| 小於 d = e/5，不妨就寫成 -e/5 小於 x-2 小於 e/5。
但是這個時候千萬別忘了之前我們為了證明而自行假設出的條件，
-9 小於 x-2 小於 1
-e/5 小於 x-2 小於 e/5
當 0 小於 e/5 小於等於 1 時剛好可以滿足 |x+2| 小於 5，
到了這邊我們從整個過程發現證明要出來，
也就是任給一個誤差 e，這個抓到的測量標準 d 要同時滿足 d 小於 e/5 和 d 小於等於 1，
自然而然的 d = min {e/5,1} 就出來了，
此時不論 e 是多少， d = min {e/5,1} 小於等於 1 可以滿足 |x+2| 小於 5，
此時不論 e 是多少， d = min {e/5,1} 小於等於 e/5 可以滿足 5d 小於等於 e，
所以測量標準我們就找出來囉 ! XD

當然證明到這邊也就結束了，但是除非必要，通常證明我們不願寫太多，把上面的過程吸收消化後直接令 d = min {e/5,1}，然後再幾行證明就可以結束了，所以第一次看的人常常會搞不懂，這是因為作者通常不顧讀者死活， XD 不過把證明寫的像首詩或是如同散文，那都純屬品味問題，是否真正的解決了問題才是重要的。

Answer 2

這個論政最重要的是 there is 和 for all
這是近代的邏輯 語句
把這兩個解決 就懂了

Answer 3

這定義的意義是說： 當x很接近a時，f(x) 就會很接近 b。至於多接近呢？要多近就有多近。ε的值就是控制 f(x) 和 b 的接近程度，希望 f(x) 和 b 的差值小於ε，辦得到嗎？可以，因為必存在δ大於0，使得 0 小於 | x - a | 小於 d ，x∈D of f(X)時， f(x) 和 b 的差值小於ε，所以 f(x) 和 b 的差值可以任意地小(ε是任意正數)，也就是任意地接近。
先決定 f(x) 和 b 要多接近，再找合適的x；即先決定ε的大小，再找合適的δ。如果 f(x) 和 b 不是任意地接近的話，就不能說它的極限值是b。