工程數學 微分方程

Question

請問一題變係數微分方程問題
ty\"+y\'+ty=0 , y(0)=1
此題是應該使用拉式轉換較為便利...但好複雜...使用變數代換又無法求出,請問該如何求解較為便利呢??請指教...請列詳細解答喔!!謝謝!!

貝索函數不是級數解嗎?記得會展開成一串...好像可以用泰勒or馬克勞林來做...

Answer 1

可以用 Laplace 轉換解，不過要耍小手段。

2006-08-29 11:57:10 補充：
£{ ty'' } = ( - d／ds )[ s^2Y - sy(0) - y'(0) ]

y'(0) 可以被〝微掉〞喔。

2006-08-29 13:17:01 補充：
我要去上課，晚上回來再幫版主算算囉。先預告一下，可以化減為一階線性ODE或變數可分離ODE來解 ^_^

2006-08-30 08:07:23 補充：
　　版主您好，原來這題沒有我預想中的那麼簡單，需要用到一個特殊函數的 Laplace 轉換如下：*£{ Jo(at) }= 1／√( s2 + a2 )*　　我們還需知道幾個 Laplace 轉換性質如下：*頻域微分性質：£{ tnƒ(t) }= ( - 1 )n[ dnF(s)／dsn ]時域微分性質：£{ ƒ'(t) }= sF(s) - ƒ(0)　　　　　　　£{ ƒ''(t) }= s2F(s) - sƒ(0) - ƒ'(0)*　　這題會再用到一階線性 o.d.e. 的觀念、解法如下：*一階線性 o.d.e. 之型式：y' + P(t) y = Q(t)必有一積分因子：I(t) = e∫Pdt其解為：y = ( 1／I )(∫IQdt + c )*　　另外，為了讓算式更簡易、看的更清楚，我會將幾個符號簡寫如下：*a. £{ y }= Y(s) 簡記為 Yb. dY(s)／ds 簡記為 Y'c. d2Y(s)／ds2 簡記為 Y''*　　那現在就來算這個題目吧。*Problem：Given ty'' + y' + ty = 0 , y(0) = 1 , find y(t) = ?sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換。　　£{ ty'' + y' + ty }= £{0}　　→ ( - 1 )1( d／ds )[ s2Y - sy(0) - y'(0) ] + [ sY - y(0) ] + ( - 1 )1dY／ds = 0　　將 y(0) = 1 代入整理。　　→ - [ 2sY + s2Y' - 1 ] + [ sY - 1 ] - Y' = 0　　→ - ( s2 + 1 )Y' - sY = 0　　→ Y' + [ s／( s2 + 1 ) ]Y = 0 ～ 一階線性 o.d.e.　　積分因子：I(s) = exp{∫[ s／( s2 + 1 ) ]ds }　　　　　　　　  = exp{ ( 1／2 )∫[ 1／( s2 + 1 ) ]d( s2 + 1 ) }　　　　　　　　  = exp{ ( 1／2 ) ln│s2 + 1│}　　　　　　　　  = ( s2 + 1 )( 1／2 )　　　　　　　　  = √( s2 + 1 )　　Y = [ 1／√( s2 + 1 ) ][∫√( s2 + 1 ) × 0 ds + c ]　　　= c／√( s2 + 1 )　　由 initial theorem：lim t → 0 y(t) = lim s → ∞ sY(s)　　→ lim t → 0 y = lim s → ∞ [ sc／√( s2 + 1 ) ]　　→ 1 = lim s → ∞ [ sc／√( s2 + 1 ) ]　　→ c = 1　　→ Y = 1／√( s2 + 1 )　　y = £ - 1{ 1／√( s2 + 1 ) }　　   = Jo(t)　　→ y(t) = Jo(t) #*　　這個題目，的確從 Bessel Equation 來的，Bessel Equation 型式如下：t2y'' + ty' + ( t2 - υ2 )y = 0　　此題 υ 為 0。→ t2y'' + ty' + t2y = 0　　等號兩邊同除 t。→ ty'' + y' + ty = 0　　上式就變成您要算的題目了，在這裡我就不說 Bessel Equation 怎麼解，只是要說這題其實含有很多觀念，可以將 o.d.e. 跟 Laplace 轉換串聯起來，的確是個好題目喔！　　按考試的立場，要考國立研究所的話，解這種題目的能力與技巧是必須的！希望以上回答能幫助您。

2006-08-30 08:08:50 補充：
Brian 兄，你腦袋轉的挺快的，想的到是 Bessel 有關，佩服！

Answer 2

用 Laplace Transform 解不錯啊，二階微分方程式會變成一階微分方程式(賺到！)。非拉氏轉換的解法，想得到的和樓上一樣。

2006-08-29 01:23:18 補充：
這是二階微分方程式，需要兩個初始條件或邊界條件。你的題目只給了一個，還少一個。

2006-08-29 12:21:46 補充：
對吼！哈！

Answer 3

我也想不出個好辦法~可能要用終極手段---->冪級數解

2006-08-30 02:41:20 補充：
ty"+y'+ty=0 →t^2y"+ty'+t^2y=0
所以方程是的解是Bessel Function
這樣解好像也不錯^^
這題讓我想到我之前問的類似題目，原來要y"的變係數次方小於等於1才能用拉式轉換達到降階的效果，不錯不錯又學到一個好方法囉^^