工程數學~有關解微分方程的問題~請工數達人近來唷!!

Question

有一題微分方程 ( x^2 - 1 ) y\'\' + 3 x y\' + x y = 0 ; y( 0 ) = 1 , y\'( 0 ) = 3
請問一下，這題能用拉式轉換解嗎?目前我只會用拉式轉換解常係數微分方程且有給初值條件的 >\"<，拉式轉換是否可以用來解變係數微分方程呢?上面的題目我有對微分方程取拉式轉換，但是最後我把它化簡成：[ d / ds ￡{y} ] ( s - 1 ) + s^2 [ d^2 / d s^2 ￡{y}] +￡{y} ( - 1 - s^2 ) = - s - 3，接下來我就不知道如何處理了... (感覺又變成另一個變係數微分方程 @@\") 有經驗的大哥大姐，我該如何處理呢?
對了~再問一下~用級數解求出的答案是不是都可以找到通式呀(EX︰就像化成Tayor級數一樣) ? 有些級數的規律性還真難找...@@\"

(x^2-1) {s^2Y-sy(0)-y'(0)}+(3x) {sY-y(0)}+ xY = 0
大哥~您的拉式轉換好像錯了耶~ X 是自變數呀..
而且您的答案帶回原式好像不對耶...
其實這題我借的書上是用冪集數解的...
大哥您可以跟我說解冪級數有什麼大約的流程嘛?或方法?
小弟我是今年剛生大二的學生~很多的不大懂~請多多指教^^

Answer 1

全錯>_<

2006-08-24 22:35:51 補充：
我正在 key in......

2006-08-24 23:14:11 補充：
　　版主您好，其實這題我已經想了好幾天了，用 Laplace 轉換來解可以整理出一個新的 O.D.E.，但這個新 O.D.E. 也部是標準的常係數 D.E. 或是 Cauchy-Euler 方程式。我再用 Exact D.E. 跟 Method of Reduction of Order 嘗試降階也都不成功！　　看來這題只能用級數解硬拼，但本人不才，級數解整理出來找不到規則，弄得很頭大，可能我題目算不夠多，尚無能力解此題，不過因為我看 danny 網友雖然很熱心，但觀念跟算法錯誤的蠻嚴重的，所以我將用 Laplace 轉換的算式列出來，直到整理出一個新 O.D.E. 為止。　　雖然解不出來，但提供版主一個正確的 Laplace 轉換計算；我們須先知道幾個基本的轉換性質，隨後列出，再整理出一個新 O.D.E.。*時域微分性質：£{ ƒ'(t) }= sF(s) - ƒ(0)　　　　　　　£{ ƒ''(t) }= s2F(s) - sƒ(0) - ƒ'(0)頻域微分性質：£{ tnƒ(t) }= ( - 1 )n[ dnF(s)／dsn ]*　　用以上三個 Laolace 轉換性質來算算看囉！*　　以下 £{ y }= Y(s) 簡記 Y，( d／ds )Y(s) 簡記 Y'、( d2／ds2 )Y(s) 則為 Y''。*Problem：( x2 - 1 )y'' + 3xy' + xy = 0 , y(0) = 1 , y'(0) = 3　　　　Using Laplace Transform find y = ?sol：　　由原式得：x2y'' - y'' + 3xy' + xy = 0　　£{ x2y'' - y'' + 3xy' + xy }= £{ 0 }　　→ ( - 1 )2( d2／ds2 )[ s2Y - s - 3 ] - [ s2Y - s - 3 ] + 3( - 1 )1( d／ds )[ sY - 1 ] + ( - 1 )1( d／ds )Y = 0　　→ [ 2Y + 4sY' + s2Y'' ] - [ s2Y - s - 3 ] - 3[ Y + sY' ] - Y' = 0　　→ s2Y'' + ( s - 1 )Y' - ( s2 + 1 )Y = - ( s + 3 ) ～ New O.D.E.*　　如版主所看到，這個新 O.D.E. 我用 Exact D.E. 跟 Method of Reduction of Order 降階測試也都失敗，還是只能用級數解硬拼，但我還是拼不出來，抱歉囉！　　以上只能提供版主一個正確的 Laplace 轉換的算法，算不出解答，但我還會再努力試試的，或請其他高手來幫版主解答；希望以上回答能給版主一點幫助。

2006-08-24 23:43:15 補充：
是兩種可將用正規方法解不出來的高階 D.E. 降為低階 D.E. 再來求解的方法，有很多規則要記，Kreyszig 寫的高等工程數學也只有介紹 Method of Reduction of Order，看來再過十幾二十年這兩種方法可能會在工數聖經本中消失了。

Answer 2

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

Answer 3

不過這題確實有點可惜，因為差少許就會變成這類的微分方程：
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0221.pdf
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0215.pdf

問題就是由於這條微分方程其y的係數是x。

Answer 4

級數解好複雜~我覺得是目前我所讀的工數中最煩人的@@"

2006-08-24 22:24:22 補充：
哇~ 龍昊 大大什麼錯了? 您可以剛我解答嗎?

2006-08-24 23:30:21 補充：
To 龍昊 ：Exact D.E. 這是什麼方法呀?幫我介紹一下^^ Method of Reduction of Order 降階測試 這個又是什麼方法呀?

2006-08-26 00:33:21 補充：
哈哈~是的~謝謝"我的日子只有混"聽您這一說~讓我對冪級數解更感其之重要性~雖然繁雜卻是最General的處理辦法~有股衝動想立刻學好他...(我要加油^^)

2006-08-26 00:45:37 補充：
阿~問一下~高等工程數學和一般的工程數學有什麼不同呀(最後的一個問題>"<)

Answer 5

我想你一定要考研究所八!
那就幫你一下八,因為自己也要考,順便複習一下
以下解法都是補習幫老師教的:
除出你自己有補習了,不然希望你就學這樣解,因為畢竟這是人家的經驗!

首先在解題前,你要知道這是什麼ODE(微分方程)?
此題為變係數ODE(線性)
如果是變係數ODE(線性)那麼他的解法如下:(你可以參考,不一定要照我這樣做)
1.Cauchy(柯西)等微ODE
2.Legendre等微ODE
3.參數變換法
4.正合ODE
5.應變數代換
6.自變數代換
7.冪集數法(這就是你說的,Tayor級數是屬於冪級數)

1~4都還挺重要的,尤其1~2超級重要你要學喔!
5,6幾乎很少考你先跳過八媽
7的話講句實在話不建議你用,因為他超凡的,除非題目指定或1~4都無法解的話

不過學完Laplace後你就又多一個算法
其實我覺得這個最好用,也比較簡單,若題目沒指定解法那就選這個好^^

解法1:----Laplace
解題前補充一下:
L{y(t)}=Y(s)
L{y'(t)}=sY(s)-y(0)
[加強]
知道為什麼為分會有初始值媽?
因為你微分一次,會幹掉一個常數
微分二次,會幹掉二個常數
大概是這樣的樣子
詳細一点我就不會說了(因為本人能力有限@@),所以等等微分2次需2跟初始值


L{y''(t)}=s^2Y(s)-sy(0)-'y(0)
L{y'''(t)}=s^3Y(s)-s^2y(0)-s'y(0)-y''(0)
剩下的以此類推!
我上面舉的例子:
t自變數
y應變數
y(t)

你下面的題目是:
x自變數
y應變數
y(x)

2個並沒有什麼差別
y(t)-->此y函數都是t的變數
EX:
y=t^2+3t+2

y(x)-->此y函數都是t的變數
EX:
y=x^2+3x+2


等等解題時-->我的Y(s)全寫成Y

sol:
全式取Laplace得:

(x^2-1) {s^2Y-sy(0)-y'(0)}+(3x) {sY-y(0)}+ xY =0~~~~~(1)

依題目得知: y( 0 ) = 1 , y'( 0 ) = 3 代入(1)式

(0^2-1) {S^2Y-s*1-3}+(3*0) {sY-1}+0*Y=0

整理一下:
-{S^2Y-s*1-3}=0
全式乘-1得:
S^2Y-s*1-3=0
Y=s/s^2+3/s^2
Y=1/s+3/s^2
Y(s)=1/s+3/s^2
所以y(x)=L^-1{Y(s)}
y(x)=L^-1{1/s+3/s^2}
=1+3t
因此解就誕生了y(x)=1+3t


其實解只有一点點,重點是你的觀念,你如果用錯方法,給你解一整天你也解不出來
至於Tayor級數,你問同學或老師好了,它那式子真是有夠多,就算解一開始還是要先教你基礎阿,你先問問別人八,還有問題再問我八

2006-08-24 16:24:08 補充：
小弟不會排版,所以你就將就一下,還有花了1小時多解題加打字,希望你好好學,如果有問題你就在網頁上留言,我幾乎都匯上來瀏灠一下還有所有的s均為小寫,有些沒注意到,Sorry

2006-08-24 16:35:20 補充：
d / ds ￡{y}解完才發現你這個這樣寫,天ㄚ!太厲害了!這樣你肯定算不出來.......￡{d / ds y}這樣才對看你基礎不好喔!需再加油喔![更正]y(x)-->此y函數都是x的變數EX:y=x^2+3x+2

2006-08-24 22:28:57 補充：
級數其實他不會難,只是他的算數很煩,但是他的解法很有規律且也很死!
你亂搞一定算不出來,但一定要很細心,不然白白花時間算還算錯,實在是很吃虧

2006-08-24 22:57:57 補充：
嗯~~龍哥說的好全錯><........,聽妳這麼一說我才發現我錯的太離譜了......再重解一次

2006-08-24 23:12:00 補充：
.........我覺得你這題好像要用冪級數,因為你有X^2,不曉得樓長是不是這樣想呢?
還有我之前那ㄍ亂解法,現在我看了都想去撞牆,抱歉喔,我學的不夠精,當我沒解過......,但是理論應該沒錯

2006-08-25 00:23:56 補充：
題目: ( x^2 - 1 ) y'' + 3 x y' + x y = 0由題目得知你的常點為:x=0由題目得知你的B.C.(boundary conditional)為:y( 0 ) = 1 , y'( 0 ) = 3sol: 一定理,必存有解:y= An(X-0)^n An=y(0)微分n階/n!1.A0= y(0)微分0階/0!~~~~~(1) 將y( 0 ) = 1代入(1)式: A0=1 /1 A0=1

2006-08-25 00:25:17 補充：
2.A1= y(0)微分1階/1!~~~~~(1) 將y( 0 ) = 1代入(1)式: A1=3 /1 A1=33.A2= y(0)微分2階/2!~~~~~(2)將原式移項: ( x^2 - 1 ) y''= - 3 x y' - x y y''= [- 3 x/( x^2 - 1 )]y' – [x/( x^2 - 1 )]y~~~~~(a) 將B.C.代入a式: y''=0*3 – 0*1 y''=0 將y''=0代入(2)式 A2=0 /2 A2=0

2006-08-25 00:29:16 補充：
4.
A3= y(0)微分3階/3!~~~~~(2)
將(a)微分:
y''' = {[- 3 x/( x^2 - 1 )] y'' + y'[(-3)*(x^2-1) + 3x (2x)]/ ( x^2 - 1 )^2} –
{[x/( x^2 - 1 )]y' + y[( x^2 - 1 ) – x(2x)]/ ( x^2 - 1 )^2}
y''' ={0* y'' + y'*3/1} – {0* y' + y*(-1)/1}
y''' = y'*3 + y
y''' = 3*3 + 1
y''' =10

2006-08-25 00:29:51 補充：
剩下的以此類推,……

故得y= An(X-0)^n

y=A0+A1(X)+A2(X^2)+A3(X^3)+………………
y=1+3X+0*( X^2)+10(X^3)
y=1+3X+10(X^3)

2006-08-25 00:29:58 補充：
這題用冪集數好像比較簡單,而這種的冪級數式比較簡單的,還有一種是不給你初始值,叫你求,那種就會算到抓狂………,講句實在話工數真是可以修生養性,培養溫和的氣息……….,還有y'''我怕我會看錯你自己在微微看,大致上就是這種流程,如果再有錯,你再說八,只是看起來真慚愧,你剛深大二上就這麼努力喔,看來的目標很清楚囉!,+U八一值努力下去你一定可以考上台,清,交,成

最後由於我正在學所以有些地方可能一值呆呆的亂算,希望樓長你多多包函!

Answer 6

級數解才算得上微分方程的主要的工具。這世界上 exact solution 並沒有像課本習題、例題那樣那麼多。

2006-08-26 00:05:35 補充：
danny 錯很大！ y(x) = 1 + 3x + 10x^3 代回原微分方程式也是不對的答案。
d / ds ￡{y} 這個才是對的，￡{d / ds y} 不是 Laplace 的性質。你的觀念………不大對哩。而且 d/ds y(x) ≡ 0，因為 y 不是 s 自變數的函數。
Boundary Condition 和 Initial Condition 是很類似的東西沒錯，但y(0) 、 y'(0) 我們稱它叫初始條件(∵ x = 0 )，不應該叫邊界條件，這是很死的定義。

2006-08-26 00:21:49 補充：
給布萊恩：
冪級數解法的確煩雜，但它才是主要解微分方程的主要工具。隨便寫一個微分方程，很容易就導出一些莫名的 special function 。舉凡 Bessel function 、 Legendre Polynomial ，都是這樣來的。事實上 sin cos 這些也是 special function 。 想像一下，在沒有三角函數的情況下， y''(x) + y(x) = 0 ，它的解為何？想求解也只有使用冪級數一途。

2006-08-26 00:22:09 補充：
慶幸的是，少部分的特殊函數諸如 exp(x) sin(x) cos(x) Bessel Legendre 已經可以解決很多物理、工程、科學上的問題，稱得上最經典、最具代表性的函數。
以上所述，相信是少有教工程數學的教授會談及的。希望你能更接受冪級數:)

2006-08-26 01:06:23 補充：
哈，問得好。
"高等工程數學"，說穿了，它是一本書名。Kreyszig 的 Advance Engineering Mathmatics ，等你正式修工數學分後，我猜也是用這本。

不過就這樣決定了"高等工程數學"一詞兒，也太含混了。 即使是微積分也被分成"初等微積分(初微)"和"數學分析(高微)"。 工程數學的領域，特別是數學的領域，遠比在學的莘莘學子學的東西還要深遠。 大學教科書大多屬概論。提供大部份的工具、理論讓你得以進入該領域。更深遠的部分其實得留待每個人去發揮的。