連續函數的性質

Question

假設函數f:[a,b]->R是連續函數試證:f 在[a,b]上是有界(bounded)的

Answer 1

令S={x|xε[a, b]，f在[a, x]上為有界}
顯然S是非空的而且b是S的上界
令c=lub{x|xε[a, b]，f在[a, x]上為有界}　　ps:lub表最小上界(least upper bound)
欲證c=b
採用反證法
如果c0，使得f在[c-δ, c+δ]上為
有界(1*)。由於f在[a, c-δ]及[c-δ, c+δ]上都有界，所以f在[a, c+δ]上也有界，
這跟c=lub{x|xε[a, b]，f在[a, x]上為有界}矛盾，故c=b。

也就是對所有x 另外，因為f在[a,b]上連續，所以存在一δ>0，使得f在[b-δ,b]上為有界
因為b-δ 有界。

註1*:由於f在c為連續，所以對所有的ε>0，存在一個δ>0，使得
若 |x-c| <δ，則 |f(x)-f(c)| < ε。存在一δ>0，使得f在[c-δ, c+δ]上為
有界。

Answer 2

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Answer 3

其實，你如果可以引用定理一步就夠：

f 為連續，[a, b] 為 compact，故 f 的 image 為 compact, 因此為有界。