有關梯形與互補的數學問題！１５點！

Question

1.若梯形ABCD中，AD線段平行BC線段，E、F分別為對角線BD線段與AC線段的中點，若EF線段=2，BC線段=10，則AD=?
Question 1:6146或14以上皆非
Question 2:線段EF會平行梯形中的上底與下底嗎?要怎麼證明?
Question 3:參考書的解答是用這個公式算的：EF線段=1/2 ×│AD線段－ BC線段│，請問這式子怎來？
2.［若角Ｒ與角Ｓ互補，則它們的角平分線互相垂直］這句話參考書寫［錯］
但我認為是對的＠＠＂，有什麼例子是錯的嗎？

但∠DOE=(1/2)(150度-30度)=60度，並不是直角。
這句使不是錯了？應該60度是∠DOB

Answer 1

若角Ｒ與角Ｓ互補，則它們的角平分線互相垂直。
這當然是錯的，會認為對的人，已經被台灣僵化的數學教育荼毒很深了。如果連數學老師也認為這是對的，就太可怕了。

重點是，它有說角R和角S共用一邊嗎？

http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1406081804083.JPG

2006-08-26 23:43:54 補充：
錯就是錯，沒有什麼國中不國中的。
出題者本來就有義務把題目敘述清楚，
要嘛把圖畫出來，要嘛就說角ABC與角ABD互補，若只是角R和角S互補，這個....
而且我認為這只要有點想像力就可以知道了，並無超出國中範圍，難道老師都規定學生兩角互補或互餘，一定要把它們拼成平角或直角嗎？
忘記說了，就算角R和角S共用一邊，其角平分線也未必成直角。

2006-08-27 03:31:45 補充：
我沒有兇啦！抱歉，我的意思是說：
角R和角S互補，不能推論其角平分線垂直。
這就算到高中大學，甚至研究所也是一樣，永遠不變，因為就是有反例，所以才說「錯就是錯，沒有什麼國中不國中的」。
這跟「根號裡面可不可以為負的」並不相同，這個明顯就有無限多個反例，而根號問題只是數系的擴充。
難道你有辦法擴充定義，讓當角R和角S互補時，其角平分線「必然」垂直嗎？

2006-08-27 10:49:24 補充：

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1406081804083.JPG
如圖一，連接BF，其延長線交AD於G，在△AFG和△CFB中，∠GAF=∠BCF(平行線內錯角)，∠AFG=∠CFB(對頂角)，線段AF=線段FC(題目條件)，所以△AFG全等於△CFB(ASA全等)；因此線段GF=線段FB，即F是線段BG的中點，在△BGD中，E,F分別是BD和BG的中點，所以EF平行GD，即EF與AD和BC都平行。在△BGD中，EF=(1/2)GD=(1/2)(AD-AG)=(1/2)(AD-BC)=(1/2)|AD-BC|EF=(1/2)|AD-BC|，代入題目數字，2=(1/2)|AD-10|，|AD-10|=4，AD=14或6若「角R與角S互補，則它們的角平分線互相垂直」是錯的，反例如圖二，∠AOC=150度，∠BOC=30度，線段DO和線段EO分別是∠AOC和∠BOC的角平分線，∠AOC和∠BOC確實是互補的，但∠DOE=(1/2)(150度-30度)=60度，並不是直角。

2006-08-31 22:18:39 補充：
∠AOD,∠DOB,∠BOE,∠EOC分別是75度,45度,15度,15度注意，DO平分的是∠AOC，不是∠AOB

Answer 2

2.
角平分線將角Ｒ分成角1與角2 將角Ｓ分成角3與角4
1+2+3+4=180度 又1=2 3=4 所以1+2+3+4=2+2+3+3=180度
則2+3=90度 參考書寫錯了

2006-08-26 12:33:48 補充：
這樣的回答當然是配合他現在應該是國中生 學校的題目大都是在這樣的條件下去問的觀念題

克勞棣說的當然沒有錯
可是這樣的想法與回答可能已經超出國中生所學到的東西與他們可以接受的範圍了

所以修正一下 在國中幾何(平行)單元裡 那是對的 但是脫離國中後 那是錯的

2006-08-27 00:19:38 補充：
不要這麼兇嘛
你說的是沒錯啦
可我還是覺得回答問題時要看對象是誰
若是回答一個大學生的話 那麼當然是要讓他想的很周全 因為他已經受過那樣子的訓練了
但是若是回答一個剛開始在學這個單元的學生的話 就應該配合他學校或是課本上的教材 不能用他沒學過的東西或是用超出他所能接受的範圍的觀念去解釋 降會令他們錯亂

比如說
如果問根號裡面可不可以為負的
那麼國中生的標準答案是不行
但是高中生的答案是可以 因為他們學過虛數了

Answer 3

1(1)答案是6
(2)有點忘了要如何證明,但如果將E.F延伸相交AB.CD線段交2點,G.H,則G,H亦為AB.CD線段的中點喔.如此可證出三角形AGF相似於三角形ABC(SAS相似),得知角AGF=角ABC,即GF平行BC..同理EH平行BC------GH平行BC---同理可證上底的部份
(3)由上可得公式(用比例的概念去看)..GH線段=1/2 ×│AD線段+ BC線段│，在推即可得你在參考書看到的公式EF線段=1/2 ×│AD線段－ BC線段│
2很簡單.....長方形

2006-08-18 11:37:45 補充：
1(2)想了ㄧ下應可直接證明EF平行上底.下底(應用原理:平行線截等線段) 我原證明的方式可推知...平行線截等線段...再代回原題目