工程數學中的拉氏轉換~~工數魔人請進^^

Question

有幾個拉氏轉換，我想了好久還是想不出來請工數達人幫幫我呀... ( £ 是拉氏轉換子)
(1)£ { Sin[ x^1/2 ] } PS.這題還真怪~本來打算用定義做的~結果發現做不出來~用定義的積分我找不到導函數~想用數值積分好像也不行 (數值績分我只會梯形法和辛普森法 @@\" )...
(2)£ { e^ (- 4x ) x^1/2 }
(3)£-1 { 1 / ( s - 3 )^1/2 }

天呀....我真的傻眼了耶...好可怕...我一被子都想不到第一步...
£{ √x }= Г( 3／2 )／s3／2

Answer 1

　　版主您好，這題是技巧題中的技巧題，我所學到的方法是設法製造一個解為 sin √x 的 O.D.E.，這個方法可能比較麻煩，不過我列出來請您參考。*Problem：Find £{ sin √x }=？sol：　　Let y = sin √x　　so that y' = ( cos √x )／( 2√x )　　　 　  y'' = ( - cos √x )／( 4√x3 ) - ( sin √x )／( 4x )　　→ y'' + ( 1／2x ) y' + ( 1／4x ) y = 0　　→ 4xy'' + 2y' + y = 0　,　boundary conditions：y(0) = 0　　£{ 4xy'' + 2y' + y }= £{ 0 }　　→ - 4( d／ds )[ s2Y(s) - sy(0) - y'(0) ] + 2[ sY(s) - y(0) ] + Y(s) = 0　　→ 4s2Y'(s) + ( 6s - 1 )Y(s) = 0　　→ Y'(s) + [ ( 6s - 1 )／4s2 ]Y(s) = 0 ～ first-order linear o.d.e.　　integral factor：I(s) = exp{∫[ ( 6s - 1 )／4s2 ]ds }　　　　　　　　　   = exp{ ( 3／2 ) ln│s│+ ( 1／4s ) }　　　　　　　　　   = s3／2e 1／4s　　Y(s) = ( 1／I )(∫I‧0 ds + c )　　　　= c／I　　　　= c s - 3／2e - 1／4s　　choose £{ √x }= Г( 3／2 )／s3／2 , and using generalized initial-value theorem　　lim s → ∞( c s - 3／2e - 1／4s )／[ Г( 3／2 )／s3／2 ] = lim s → ∞( sin √x )／√x　　→ c／Г( 3／2 ) = 1　　→ c = Г( 3／2 )　　→ Y(s) = Г( 3／2 ) s - 3／2e - 1／4s　　→ £{ sin √x }= Г( 3／2 ) s - 3／2e - 1／4s #*　　基本上，要是版主問我怎麼會這樣算？說實在的......我也不清楚！這是我在補習班學到的，要是補習班老師沒教，我也想不到要如此做了！　　希望以上回答能對您有所幫助。

2006-08-18 01:37:12 補充：
原來有三題！我漏看了，不過後面兩提也有難度，讓我多思考一點時間......

2006-08-19 15:37:02 補充：
nice！我真的想太多了！

Answer 2

有一個問題需要您
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1106081416522
謝謝

Answer 3

嗯嗯~是的

2006-08-17 20:03:11 補充：
ㄜ~真糟糕~我連什麼是gamma function 都還不知道....

2006-08-18 18:39:58 補充：
嗯嗯~好的~謝謝你唷^^

2006-08-19 21:11:32 補充：
哈哈~太好了~都解決囉^^謝謝 龍昊 和 我的日子只有混 ^^
請問一下唷~ 我的日子只有混 您對第一提的想法是否和龍昊大大一樣呢?

Answer 4

第二題是： √x．exp(-4x) 嗎？

2006-08-17 02:53:32 補充：
Г( 3／2 ) 這是 gamma function Г(x)， x = 3/2 的值。
翻一下工數書後面的附錄找一下，應該有。
聽我同學說的，關於 gamma function 的一本工具書，比工數課本還厚。

2006-08-17 22:08:41 補充：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%93%E5%87%BD%E6%95%B0
這是中文維基百科的內容，比較沒什麼，英文維基就比較豐富。
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

2006-08-17 22:35:03 補充：
gamma function 不妨把它看做階乘函數的推廣，
就像二項式定理C(n,m)，牛頓把 n 推廣到負整數、有理數。

2006-08-19 03:52:41 補充：
後面兩題比較沒有像第一題那樣的耍技巧、暗藏玄機。
單純看你公式熟練與否。當然，你要對Г(x)有些初步了解。
{ 昨個兒赫然發現，工數課本的拉氏轉換表，有收錄 cos(√x) 的轉換。 }

2006-08-19 03:55:59 補充：
第二題：£( √x．exp(-4x) ) = £(√x)|s→(s+4) = Г(1/2+1) / s^(1/2+1) |s→(s+4)
= Г(3/2) / (s+4)^(3/2) = (√π / 2)． 1 / √(s+4)³
第三題：£¯¹( 1 / √(s-3) ) = exp(3t) ． £¯¹( 1 / √s ) = exp(3x)．x^(1/2-1) / Г(1/2)
= ( 1 / √π )． exp(3x) / √x

2006-08-19 23:12:07 補充：
咧，我的工數沒像"龍昊"那麼厲害啦，第一題的題目我僅在參考書看過一次，但沒學起來，而且我也不像"龍昊"大哥對工數那麼熟練精準。龍昊大的解答是對的！！