好難懂的積分~~

Question

∫( z／(z平方+r平方)分母再開共同的根號) 上限L 下限-L

題目有點難看 沒有數字化 請多見諒
麻煩詳解告知 謝謝唷~

抱歉~分子 是 z 改 dz

再補充
這題是電磁學中一個小計算過程
z .r 只是變數(實數)

我的題目 分子是 有開根號的
根號裡面 才是z平方+r平方~~
請繼續努力一下謝謝!

ln│[ z + √( z^2 + r^2 ) ]／r│ 答案是這個 沒錯
[e-mail] 那麻煩你寄詳細過程囉~~
感謝大家的熱烈討論

剛剛打錯!! 是這個答案 ln│[ z + √( z^2 + r^2 ) ]

Answer 1

　　版主您好，這題應該是算電場，用到圓柱座標( cylinder coordinates )，雖然圓柱座標三參數是 ( r , φ , z )，但是積分式整理過後為∫dz／( z2 + r2 )，此時將 r 當常數，z 當實變數來算就好了。　　那麼我開始解算這個問題。*Problem：∫dz／( z2 + r2 )，積分下限 - L、上限 Lsol：　　Let z = r tan θ → dz = r sec2 θ dθ　　→∫dz／( z2 + r2 ) =∫( r sec2 θ dθ )／( r2 tan2 θ + r2 )　　　　　　　　　   =∫( r sec2 θ dθ )／[ r2( tan2 θ + 1 ) ]　　∵ tan2 θ + 1 = sec2 θ　　→∫( r sec2 θ dθ )／[ r2( tan2 θ + 1 ) ] =∫( r sec2 θ dθ )／( r2 sec2 θ )　　　　　　　　　　　　　　　　　  =∫dθ／r　　　　　　　　　　　　　　　　　  = θ／r　　∵ z = r tan θ　　∴ θ = tan - 1( z／r )　　→∫dz／( z2 + r2 ) = ( 1／r ) tan - 1( z／r )　　別忘記把上、下限代入！　　( 1／r )[ tan - 1( L／r ) - tan - 1( - L／r ) ] #　　上面才是最後答案，如果是算電場別忘了把單位 ( V／m ) 寫上去喔！*　　以上是用微積分的三角代換法算的，雖然很不想這麼說，但是依照考試的立場，我建議把這個常用積分公式背起來：∫dx／( x2 + a2 ) = ( 1／a ) tan - 1( x／a ) + c　　這是比較不得已的做法，畢竟對電磁學來說，微積分的計算並不是重點；希望以上回答能幫助您。

2006-08-16 21:05:20 補充：
我的天，少看一個根號，不過一樣簡單囉！版主請把 E-mail 告知一下，我把過程打一打寄給您，否則用意間或補充回答不能使用 HTML 編輯，我再做補充您會看的很不清清楚的！

2006-08-16 21:57:30 補充：
我算出來是

ln│[ z + √( z^2 + r^2 ) ]／r│+ c

兩個答案應該等效吧！？

Answer 2

這個不定積分還算一般性，查閱微積分書後面附的積分表就有。
若要知道如何積，書中"積分技巧"→"三角代換"的章節，應有類似的題目。

2006-08-16 21:37:31 補充：
∫ dz / ( z² + r² ) = sinh¯¹(z/r) + constant

2006-08-16 22:51:40 補充：
是的，一樣的答案。

2006-08-16 23:32:34 補充：
sinh¯¹(z/r) + constant = ln│[ z + √( z^2 + r^2 ) ] / r | + constant = ln│[ z + √( z^2 + r^2 ) ] | + constant 都是同等的答案，僅差常數。

Answer 3

請問你的 z 是複數還是單純的變數？是複數這題就不好算囉！

Answer 4

你沒有說明,對什麼變數積分?
對z跟對r不一樣