扇形幾何中心的算法

Question

請問要如何求得扇形的幾何中心?
幾何學上是否有\"半徑效應\"這個名詞?

Answer 1

如果只是要求個大概的扇形的重心、質心或形心(幾何中心)，不妨在方格紙上畫一下扇形形狀，數一下方格數，再概算形心的位置。如果是平面座標上，必須求得精準的形心位置，則要利用積分求得。形心座標 ( xc , yc ) 的定義：xc．A = ∫ x dA 、 yc．A = ∫ y dAA 為圖形的面積。參考圖檔：Circlular Sector設二維圖形的形心位置 ( xc , yc ) ，即上連結圖片大黑點的位置。扇形的面積 = θ R² ，故 xc．θ R² = ∫ x dA 、 yc．θ R² = ∫ y dA(1) 此扇形在 y 方向上是對稱的，所以可推得 yc = 0 。(2) ∫ x dA 此積分定義為 firt moment of area {積分函數為 x 的一次}　　以參考上圖，根據此定義積分式 = ∫ x y dx　　= ∫0Rcos(θ) x [ tan(θ) x - ( -tan(θ) x ) ] dx 　　　+ ∫Rcos(θ)R x [ √(R² - y²) - ( -√(R² - y²) ) ] dx　　= ∫0Rcos(θ) 2 tan(θ) x² dx + ∫Rcos(θ)R 2 x √( R² - x² ) dx　　= (2/3) tan(θ) x³ |0Rcos(θ) + (-2/3) √( R² - x² )³ |Rcos(θ)R　　= (2/3) [ tan(θ) R³ cos³(θ) + √( R² - R²cos²(θ)³ ]　　= (2/3) R³ [ sin(θ)cos²(θ) + sin³(θ) ] = (2/3) R³ sin(θ)(3) ∴ xc．θ R² = ∫ x dA = (2/3) R³ sin(θ)　　⇒ xc = [ (2/3) R³ sin(θ) ] / [ θ R² ] = 2R sin(θ) / 3θ　　形心位置： ( xc , yc ) = ( 2R sin(θ) / 3θ , 0 )(4) 至於你問，幾何學上是否有"半徑效應"。　　工程力學稱 之 radius of gyration ，幾何學是否有別的名稱我不清楚。　　在(2)裡，有提及 first moment of area ，同樣的也有定義　　second moment of area ：∫ x² dA 、 ∫ y² dA 、 ∫ x y dA 、 ∫ r² dA　　定義 radius of gyration about x - axis = kx ← 對 x 軸旋轉的等效半徑　　則 kx²．A = ∫ x² dA ， kx = √[ ( ∫ x² dA ) / A ] ；同理， ky 亦可求

2006-08-19 04:10:28 補充：
最後一句錯了：
定義： (kx)²．A = ∫ y² dA 、 (kx) = √[ ( ∫ y² dA ) / A ]
　　　 (ky)²．A = ∫ x² dA 、 (ky) = √[ ( ∫ x² dA ) / A ]