警察追小偷的問題

Question

在一個平面坐標系上，時間為t=0時，小偷位在(1, 0)，警察位在(0, 2)。
然後小偷以每秒一單位長的速率往正x軸方向跑，
警察也在同時開始追小偷，以每秒二單位長的速率跑。
如果警察一直面對著小偷，即警察跑步的速度向量恒指向小偷，
請問在幾秒後會追到小偷? 而追到的位置坐標為何?

To耗呆小綿羊：
為什麼
(X小偷＋1)^2＋2^2＝X警察^2
呢? 警察跑步的路線似乎並不是直線吧?

To耗呆小綿羊：
(X小偷＋1)^2＋2^2＝X警察^2
這個式子有一個前提，就是警察是延著直線跑的
也就是警察出發後就朝著(X小偷＋1, 0)這一點直線前進
但題目是說警察出發後一直面對著小偷
可見警察的路線並非如上述所說的直線

To耗呆小綿羊：
請問您的"X警察"是指警察的位移還是路徑長呢?

To耗呆小綿羊：
好的，X警察指的是警察的"位移"。那可否請您解釋一下為何X警察=2T呢?

To耗呆小綿羊：
題目說：
「警察也在同時開始追小偷，以每秒二單位長的速率跑。」
注意這裡是「速率」，而不是「速度」。小偷的運動是「等速度直線運動」，但是警察是「等速率曲線運動」。

Answer 1

假設警察每秒的位置為 x(t) i + (2 - y(t))j

可得知警察每秒的速度為 dx(t)/dt i - dy(t)/dt j

由題目中得知 √( (dx(t)/dt)^2 + (dy(t)/dt)^2 ) = 2
===> (dx(t)/dt)^2 + (dy(t)/dt)^2 = 4

我們假設警察追到小偷的時間是T0，

則 dy/dt * T0 = -2
dx/dt * T0 = 1 + 1*T0

將這2個式子代入上式中

(-2/T0)^2 + ((1*T0)/T0)^2 = 4

展開得到

3T0^2 - 2T0 -5 = 0 =====> (3T0 - 5)(T0 + 1) = 0

所以在5/3秒後，警察會追到小偷。

座標就是 (8/3 ，0)

2006-09-05 18:49:58 補充：
不好意思，我的確是解錯的，不過我找到了正確的解答如下的網頁：
http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/question_35.php

我解題的想法其實跟他一樣，但是我列不出起始的式子，所以我解不出來。^^;

Answer 2

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Answer 4

To RD-S: 有考慮方向喔，mida的解法裡的i和j分別是x軸和y軸上的單位向量。

2006-08-24 15:31:40 補充：
To RD-S：謝謝你的意見。^_^
那請問一下，mida的解法到底正不正確呢?

2006-08-25 09:53:54 補充：
To RD-S:好的，我知道了，謝謝你抽空來回答我的問題。^_^

2006-09-06 10:16:16 補充：
To mida: 非常謝謝你的補充，原來解答是這麼妙呀，而且它還有求出一般情形的解。真是太感謝了!^_^

Answer 5

投降了 頭昏眼花了
曲線長度我只會圓而已...
但是它不是圓弧...所以我敗.了...

2006-08-19 11:24:54 補充：
啥 這是真的嗎?
原來題目玩文字遊戲嗎?
但是速度和速率倒底是哪一個要考慮方向啊?

2006-08-22 21:01:08 補充：
結果還是直線運動嘛....
或者其實題目是不考慮方向的?

也是嘛 不然太難算了

2006-08-24 00:31:09 補充：
你要面對現實啊 答案是一樣的會有假嗎?
dy/dt * T0 = -2
dx/dt * T0 = 1 + 1*T0 中

T0雖然是未知 但是總是個定值
這麼一來 dy/dt dx/dt 不都是定值嗎?
兩個方向的速度都定值
不是直線是什麼?

2006-08-24 20:36:00 補充：
我想如果真的是"等速率"就錯了
等速度的話就對了
如果你是高中 一定是題目出錯
如果你是大學 這大概要用到微積分
可能要用到什麼代換之類的
可惜我微積分念得太差了 幫不了你啦

Answer 6

小偷以每秒一單位長的速率往正x軸方向跑＝＞追到的位置坐標為 (X小偷＋1,0)V小偷＝1 單位／秒V警察＝2 單位／秒時間 TX小偷＝1*T 單位X警察＝2*T 單位畢達哥拉斯定理(X小偷＋1)2＋22＝X警察2(T＋1)2＋4＝(2T)2T2＋2T＋1＋4＝4T23T2－2T－5＝0(T＋1)(3T－5)＝0T＝5／3 , －1(不合)T＝5／3 秒X小偷＝5／3 單位X小偷＋1＝8／3 單位追到的位置坐標為 (8／3 ,0)

2006-08-15 16:14:52 補充：
是的，實際上警察跑步的路線不是直線！是曲線。但是，由題目已知，可以設定終點目標為 x 軸上的一點"X小偷" 是小偷的所走的距離所以 "警察 (0,2)"、"原點 (0,0)"、"目標(X小偷+1,0)" 三點形成直角三角形，以畢氏定理計算，求未知數重點是，看到題目就要先畫圖，畫出 xy 軸坐標才可以快速解題！…也可以用 "物理的方式" 來計算

2006-08-16 18:19:44 補充：
實際上，警察跑步的路線是 "路徑長"但是，上述的數學計算是以 "位移" 來考慮而且計算的重點是放在 "小偷" ，不是放在警察。下方有回答者以 "警察" 來解題距離的微分＝速度(補充：速度的微分＝加速度)

2006-08-17 16:32:34 補充：
位移！上述的數學計算都是用位移來計算的。位移是 "起點" 到 "終點" 間的「直線」距離！路徑長是 "起點" 到 "終點" 間所走的路線長！路徑長可能為 曲線、直線、隨便亂走的路線……

2006-08-18 15:59:16 補充：
因為 "警察" 與 "小偷" 皆是以等速度在行進的所以速度＝位移／時間位移＝速度＊時間

2006-08-18 19:36:55 補充：
速度、速率，就差有無方向而已…

2006-08-19 16:21:20 補充：
國中或高中一些數理題目的文字遊戲都玩得很重