關於 因式定理

Question

F(0)=0
有X的因式? 為什麼?
F(1)=4 F(-1)=4
怎麼用 因式定理表示?
(1- 4) l F(1) ? 這樣寫得嗎?

Answer 1

多項式除法原理：假設多項式都可以表示成： F(x) = B(x)．Q(x) + R(x)其中 F(x) 為被除式、 Q(x) 為商式、 B(x) 為除式、 R(x) 為餘式，且餘式 R(x) 的次數，要比除式 B(x) 至少要少一次。餘式定理：根據多項式除法， F(x) = B(x)．Q(x) + R(x)今有一除式： ( x - a ) ，以 F(x) 除之，所得到的餘式為 F(a)證明：按題意， B(x) = x - a ，∵ B(x) 一次式，∴ R(x) 為零次多項式，即一常數。　　　所以可表示成 F(x) = ( x - a )．Q(x) + R(x)　　　令 x = a 代入上式 ⇒ F(a) = ( a - a )．Q(a) + R(a) = R(a) = R(x)　　　所以 F(a) = R(x) ，得 F(x) = ( x - a )．Q(x) + F(a)　　　也就是說，以 ( x - a ) 除 F(x) 之餘式為 F(a)因式定理：即餘式定理的推廣。除式 ( x - a ) 除 F(x) 之餘式為 F(a)。若 F(a) = 0 ，則 ( x - a ) 為 F(x) 的因式；反之 x - a 為 F(x) 的因式， F(a) = 0 。可表為 F(x) = ( x - a )．Q(x) ⇔ ( x - a ) | F(x) {← (x-a)整除 F(x) }證明：餘式定理得知 F(x) = ( x - a )．Q(x) + F(a)　　　( x - a ) 為 F(x) 之因式 ⇔ F(a) = 0 ⇔ F(x) = ( x - a )．Q(x)(1) F(0) = 0 {即 a = 0 的情況} ⇔ F(x) = ( x - 0 )．Q(x) + F(0)　　⇔ F(x) = x．Q(x) ⇔ x | F(x) 由因式定理得證。(2) F(1) = 4 {即 a = 1 的情況} ⇔ F(x) = ( x - 1 )．Q(x) + F(1)　　⇔ F(x) = ( x - 1 )．Q(x) + 4 ⇔ F(x) - 4 = ( x - 1 )．Q(x)　　⇔ 定義 G(x) = F(x) - 4 = ( x - 1 )．Q(x) {←應用因式定理}　　⇔ ( x - 1 ) | G(x) ⇔ ( x - 1 ) | ( F(x) - 4 ) 　　⇔ 以 ( x - 1 ) | ( F(x) - 4 ) 表示( x - 1 ) 整除 F(x) - 4(3) F(-1) = 4 {即 a = -1 的情況} ⇔ F(x) = ( x + 1 )．Q(x) + F(-1)　　⇔ F(x) = ( x + 1 )．Q(x) + 4 ⇔ F(x) - 4 = ( x + 1 )．Q(x)　　⇔ 定義 G(x) = F(x) - 4 = ( x + 1 )．Q(x) {←應用因式定理}　　⇔ ( x + 1 ) | G(x) ⇔ ( x - 1 ) | ( F(x) - 4 ) 　　⇔ 以 ( x + 1 ) | ( F(x) - 4 ) 表示( x + 1 ) 整除 F(x) - 4(4) ∴ 以 ( 1 - 4 ) | F(1) 表示 ( x - 1 ) 為某多項式的因式，是不正確的。　　{被除式減去餘式後，除式可整除之。即(除式)為(被除式 - 餘式)的因式}

Answer 2

除法原理:被除式=除式*商式+餘式
可推出於餘式定理:F(x)除以ax+b的餘式=F(-b/a) [a不等於0]
用實際數字表現餘式定理給你看
F(x)除以x+1的餘式=F(- 1 )
F(x)除以x-5的餘式=F( 5 )
F(x)除以2x+3的餘式=F(- 3/2 )

而因式定理由餘式定理而來,
所謂因式,帶有整除的意思
[可用因數來理解: 2是6的因數 , 因為6除以2是整除的]
所以因式定理:ax+b是f(x)的因式,所以F(-b/a)=0
[ F(x)除以ax+b的餘式=F(-b/a) ,又因為ax+b是f(x)的因式,所以餘式=0,所以F(-b/a)=0]

思考一下:
F(x)除以?的餘式=F(0) , ?的部分要填什麼?
就是要填 x - 0 [當然更好的答案是 x ]
因此若F(0)=0,則F(x)有因式x


至於你所表達的
"F(1)=4 F(-1)=4 怎麼用 因式定理表示?(1- 4) l F(1) ? 這樣寫得嗎?"
沒有這種表達方式