請幫我證明一題數學。（複數）

Question

設ｘ為（２拍／ｎ），ｎ為自然數，且ｎ≧２，請證明
cosｘ＋cos２ｘ＋…＋cosｎｘ＝０
sinｘ＋sin２ｘ＋…＋sinｎｘ＝０

謝謝！

Answer 1

令ω＝cos２π／ｎ＋ｉsin２π／ｎ，所以ω是ｚ^n＝１的一根。
１＋ω＋ω²＋…＋ω^n-1＝０
所以（cosｘ＋ｉsinｘ）＋（cos２ｘ＋ｉsin２ｘ）＋…＋（cosｎｘ＋ｉsinｎｘ）＝０
實部相加＝０，所以 cosｘ＋cos２ｘ＋…＋cosｎｘ＝０
虛部相加＝０，所以 sinｘ＋sin２ｘ＋…＋sinｎｘ＝０
因此得證。

Answer 2

設 z = cosθ+ i sinθ，且 Z^n = 1
則 x = 2π/n 是其中一個解
因為 Z^n = 1
--> z^n -1 = 0
--> (z-1) ( z^(n-1) + z^(n-2) + z^(n-3) + ...+ z^2 + z + 1) = 0
其中 z ≠ 1，所以
--> ( z^(n-1) + z^(n-2) + z^(n-3) + ...+ z^2 + z + 1) = 0
又 ( z^(n-1) + z^(n-2) + z^(n-3) + ...+ z^2 + z + 1)
= (cosｘ + cos 2ｘ + ...+ cos(n-1)ｘ + 1)
　+ i (sinｘ+ sin 2ｘ+...+ sin(n-1)ｘ + 0 )
因為 ｘ= 2π/n ，所以
= (cosｘ + cos 2ｘ + ...+ cos(n-1)ｘ + cos nｘ) (實部)
　+ i (sinｘ+ sin 2ｘ+...+ sin(n-1)ｘ + sin nｘ) (虛部)
= 0 + i × 0
故知實部及虛部均為零
所以
cosｘ＋cos２ｘ＋…＋cosｎｘ＝０
sinｘ＋sin２ｘ＋…＋sinｎｘ＝０