國立清華大學數學研究所碩士班入學考試題

Question

Chick whetcher the following limit exists and find its value:Lim(n->∞)ln(n)/[1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)]

請問:(1/2)+(1/3)+....+(1/n)

哈！原來是上,下限的和,腦筋一時轉不過來

Answer 1

利用 ∫1/t dt = ln n 來看這個問題
1 to n
你會發覺當 n > 2 , 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < ln n < 1/1 + 1/2 + ... + 1/(n-1)

所以 1 < (ln n + 1)/ (1 + 1/2 + ... 1/n)
and (ln n + 1/n )/(1 + 1/2 + ... 1/n) < 1
所以 1- 1/[1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)] < ln(n)/[1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)] < 1- (1/n)/[1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)]

所以 取 lim(n->∞)
我們得到 1 <= Lim(n->∞)ln(n)/[1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)] <= 1 (這部份的尾巷部份稍微說明一下就知道是0)
所以根據夾擊定理 原極限存在 且等於 1

Answer 2

將 1/t (y=1/x)圖形畫出來
這個式子
(1/2)+(1/3)+....+(1/n) 把它看成↓
下矩形合
2006-08-05 20:58:23 補充：
前幾天剛回答了一個
1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)
這類的問題,否則idicivik最後那一步我也會卡住= =

Answer 3

大師打的英文題目有錯字