請幫忙解直角三角形之長度問題？

Question

有一三角形ABC為直角三角形，且A(4,5)，B(-2,7)，C( a,-2)試求 a 之值？

二位的答案是對的，可是我唸的那一章範例只是用畢氏定理去解的，我還沒有教到向量，所以再請二位可不可以用畢氏定理去幫我解一下，謝謝。

Answer 1

圖片參考：http://home.pchome.com.tw/net/cloudyma/qid1106080315812.JPG
用畢氏定理反而難算得緊，不明白為何要用畢氏定理。1.若角A為直角，則AB2+AC2=BC262+(-2)2+(4-a)2+72=(-2-a)2+92化簡得12a=20，故a=5/32.若角B為直角，則AB2+BC2=AC262+(-2)2+(-2-a)2+92=(4-a)2+72化簡得12a=-60，故a=-53.若角C為直角，則BC2+AC2=AB2(-2-a)2+92+(4-a)2+72=62+(-2)2化簡得2a2-4a+110=0a2-2a+55=0判別式小於0，無實數解

Answer 2

三角形ABC為直角三角形，則利用向量內積為零即可！
(1) 設向量AC．向量BC = 0
則
向量AC = [a- 4, -7]
向量BC = [a+2, -9]
因為向量AC．向量BC = 0
--> (a - 4) × (a + 2) + (-7) × (-9) = 0
--> a^2 - 2a + 55 = 0
因為判別式 < 0，故本假設無解！

(2) 設向量BA．向量CA = 0
則
向量BA = [6, -2]
向量CA = [4-a, 7]
因為向量BA．向量CA = 0
--> 24 - 6a + (-2) × 7 = 0
--> 10 - 6a = 0
--> a = 10/6 = 5/3

故知 A(4,5)，B(-2,7)，C( 5/3,-2) 為一直角三角形！

Answer 3

兩線段垂直，其斜率相乘 = -1 。
用這關係式就很好解。

Answer 4

設L1為過A，B的直線(y-5)/(x-4) = (7-5)/(-2-4) ，整理後L1：y= -(x/3)+ 19/3
(1)設角C為直角，則線段AB為斜邊，以斜邊為直徑畫圓，與y=-2沒有交點，故知角C非直角
(2)設角B為直角，且設L2過B點與L1垂直，則L2:y=3x+p, B點代入 p=13, 故L2為y=3x+13 ,C點代入-2=3a+13, a=-5
(3)設角A為直角，且設L3過A點與L1垂直，則L3:y=3x+q, A點代入 q=-7 , 故L3為y=3x-7 ,C點代入-2=3a-7 , a=5/3
故a=-5 或 5/3

這題的觀念沒有想像的簡單，解好久，有問題可再問，有錯也請指教

2006-08-03 23:25:41 補充：
----方程式被系統切成兩半，底下是修正後的----(2)設角B為直角，且設L2過B點與L1垂直，則L2:y=3x+p, B點代入 p=13, 故L2為y=3x+13 ,C點代入-2=3a+13, a=-5(3)設角A為直角，且設L3過A點與L1垂直，則L3:y=3x+q, A點代入 q=-7 , 故L3為y=3x-7 ,C點代入-2=3a-7 , a=5/3故a=-5 或 5/3

2006-08-04 23:16:25 補充：
(1)設角C為直角，(AC)^2+(BC)^2=(AB)^2(4-a)^2+49+(-2-a)^2+81=36+4a^2-8a+16+49+a^2+4a+4+81=402a^2-4a+110=0 , a^2-2a+55=0判別式=4-4*1*55=4-220=-216<0，故無實數解，得知角C非直角(2)設角B為直角，(AB)^2+(BC)^2=(AC)^236+4+(-2-a)2+81=(4-a)2+4940+ a^2+4a+4+81= a^2-8a+16+49a^2+4a+125= a^2-8a+6512a=-60a=-5--字數超過--

2006-08-04 23:17:11 補充：
(3)設角A為直角，(AB)^2+(AC)^2=(BC)^236+4+(4-a)2+49=(-2-a)2+81a^2-8a+16+89 = a^2+4a+4+81-12a = 85-105= -20a=5/3