積分 代換法 的問題

Question

書上說,求 ∫(sinX)^2 * cosX dx

令 u(x) = sinX
du/dx = cosX

所以 du = cosX dx

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有這回事？那個du/dx不是符號嗎？

那，有誰能告訴我，du/dx到底是什麼意思? 怎麼會可以乘來乘去的呢?


那 如果 f(x)=2x+1 那 d/dx f(x) = 2 所以 d/dx = 2/f(x) = 2/(2x+1)
所以d = 2/(2x+1) * dx 　　　　？？？？

Answer 1

解∫(sinX)^2 * cosX dx

其實這題只是用到 "全微分" 跟 "代換法"的概念

當令 u(x) = sinx時，

全微分：du = (cosx)dx 到這裡即可代換你題目中後面的 (cosx)dx

題目變成：∫(sinX)^2 * cosX dx = ∫(u)^2 du = (u^3)/3 = [(sinx)^3]/3

把他表示成 du/dx = cosx 對此題並無意義

所以你最下面的問題若要做 "全微分" 即是如下

f(x)=2x+1 →　df = (2) dx →　df/dx = 2

→　最後這個表示也就是微分一階的意思了！

2006-08-03 20:28:31 補充：
補充一點：d/dx 是線性微分運算子，工數中表示為Ｄd/dx = 2/f(x) ，這一步驟觀念就錯誤了微分算子前面沒有東西怎麼作運算呢？d/dx f(x) = 2 = f`(x) 即為f(x)的第一階導函數

2006-08-03 20:41:04 補充：
∫(sinX)^2 * cosX dx = ∫(u)^2 du = (u^3)/3 +C= [(sinx)^3]/3 +C此為不定積分，所以記得要加常數Ｃ若為定積分會有上下限，代入即可得到答案

Answer 2

df(x)/dx確實是除法
請從微分的定義來看
dx代表的 就是分母所除的 那個會逼近於零的微小單位
注意 是逼近於零 但不是零 所以可以擺在分母
而積分 原本就是在求曲線下面所包含的面積
f(x)dx代表的 就是底乘上高的長方形面積 只是 我們把dx逼近無限小的時候
那整個曲線下的面積 就被切割成無限多個 然後算出來的直就跟實際值相同
所以 不要懷疑df(x)/dx 真的代表的是除法
而積分裡的dx 跟微分下所寫的dx 講的 就是同一個東西

2006-08-04 11:25:36 補充：
忘了幫你解問題sol: d(sinx)/dx=cosxso d(sinx)=cosx*dxthen ∫(sinX)^2 * cosX dx=∫(sinx)^2 dsinx =1/3(sinx)^3+C

Answer 3

有這回事
每個人對"符號"的定義可能不一定相同
du/dx 可以看作是符號
du/dx 的意思是 : 對u裡面的x做微分的動作
如果 u = u(x) = sinx≠sinX
則 du/dx = cosx ≠ cosX
x和X兩個符號代表的意思不同

順便幫你解這一題 : 求 ∫(sinx)^2 * cosx dx
令 u = u(x) = sinx
則 du/dx = cosx
則 du = cosx dx

所以 ∫(sinx)^2 * cosx dx = ∫u^2 * du = (u^3)/3 + C = (sinx^3)/3 + C
C = c(或其他代表符號)是 constant
中文數學的意思是 "常數"

2006-08-03 20:31:02 補充：
Sorry"(sinx^3)/3" 要改成 "[ (sinx)^3 ] / 3"兩個不一樣抱歉