政大應數所86年微積分考古證明題 (20點 !! 難~@@)

Question

1) f is a continuous function on [0,1]
2) f(0) = 0
3) [f(x+d) - f(x)] / d -> c(x) as d -> 0+ for all x in [0,1), and
c(x) ≦ c, where c is constant for all x in [0,1).
(上面就是 f 所有右導數都存在且都小於 c 的意思, c 是一個固定的實數 )
Show that f(x) ≦ cx for all x in [0,1]

這題我想了很久, 大概有了證明的方向,
但是一些地方卡住了無法說服自己是對的 @@
我把我的證明說一下, 卡住的地方用 " . " 標記,
請大家幫我看看 QQ
Pf :
對任意 ε>0 與任意在 [0,1) 內的點 s, 存在 I(s) = (s,s+δ_s) 使得對任意 I(s) 內的點 y 有 f(y) - f(s) ≦ (c+ε)(y-s).

另外再取區間 I(1) = (1-δ,1+δ) 使得對任意兩點 x,y 在
I(1) 內且 f 在 x,y 上有定義時有 |f(x)-f(y)| < ε

"適當的調整所有 δ_s 的大小 (0≦s

回文怪怪的 @@
0&lE 是小於等於的意思

f(y) - f(s_n+δ_s_n) < ε
f(s_n+δ_s_n) - f(1-δ) < ε (這個有均勻連續性保證)
f(1-δ) - f(s_n) < (c+ε)(1-δ-s_n)
f(s_n) - f(s_n-1) < (c+ε)(s_n - s_n-1)
點點點 ...
f(s_2) - f(s_1) < (c+ε)(s_2 - s_1)
f(s_1) - f(0) < (c+ε)(s_1 - 0)

全部加起來 => f(y) < 3ε + (c+ε)(1-δ) < 4ε + c(1-δ)

假設先固定 ε, 則不論 c 為正為負, 因為可以調整 δ 故
f(y) ≦ 4ε + cy,
因為 ε 是任意的故 f(y) ≦ cy.

Answer 1

Proof. If, for all ε > 0 and x ∈ (0,1], we havef(x) ≤ (C+ε)x,then f(x) ≤ Cx for all x ∈ [0,1].Otherwise, there exists ε > 0 and x ∈ (0,1] such thatf(x) - (C+ε)x > 0.Choose any Δ ∈ (0, f(x) - (C+ε)x), and letS = {t ∈ [0,x] : f(t) - (C+ε)t ≤ Δ},which is nonempty since it contains 0. Let a = sup S ∈ [0,x].For each n ∈ N, there exists tn ∈ (a-1/n,a] such thatf(tn) - (C+ε)tn ≤ Δ,and clearly tn → a, so by continuity,f(a) - (C+ε)a ≤ Δ,and hence a < x. On the other hand
f(a+h) - (C+ε)(a+h) > Δ for all h ∈ (0, x-a), (*)

so by continuity (taking h ↘ 0),
f(a) - (C+ε)a ≥ Δ.

Hence,f(a) - (C+ε)a = Δ. (**)From (*) and (**), we have, for all h in (0, x-a),f(a+h) - f(a) = [f(a+h) - (C+ε)(a+h)] - [f(a) - (C+ε)a] + (C+ε)h> Δ - Δ + (C+ε)h= (C+ε)h.Therefore, c(x) ≥ C+ε > C, leading to a contradiction. ∎

Answer 2

這題應該沒那麼複雜,你用反證法去證看看

2006-08-02 00:36:37 補充：
你的符號實在看不懂

2006-08-02 01:27:25 補充：
我開始也是想到用緊緻集的概念去證,但證明長篇大論,懶的去想,想說應該有比較簡單的

Answer 3

首先謝謝你的熱心 @@
不過你的 argument 有點問題喔 !!

一開始你寫的這個函數 "c - c(x)"
它未必可以黎曼積分.

而且 f 只是右導數都存在但未必微, 你注意你的補充證明那邊, d 在變動的時候 x 是固定的, 但 e 在變動的時候 y 也在變動, 所以等號是不成立的.

2006-08-02 00:05:50 補充：
To 豪哥 @@:

你的證明在 we get:f(d)
因為你的 d 與 ε 有關, 所以當 ε 在任意變動的時後 d 也是在變動的,
所以令 ε decreasing to zero 並
不能得到 f(d)≦dc 這個結果.

2006-08-02 00:37:19 補充：
這題我花了滿多時間的 QQ

政大應數所的微積分試卷都會夾雜1~2 題高微, 大概是出題老師不讓學生考高分出的一題吧 @@

如果題目直接說可微就好辦了,
用M.V.T可以證, 偏偏很雞的把條件變弱讓題目變的很討厭 =.=

2006-08-02 00:40:10 補充：
嗯 @@ 這裡不好打數學文章
PTT 的 trans_math 板的 2410 篇文應該會詳細點 QQ