請幫忙解微積分題目

Question

1.∫(x^2-1)/(x^4+3x^3+5x^2+3x+1)dx

2.f(x)=(x^2+1)e^(-x)+∫f(x-t)e^(-t)dx , f(x)=? 積分範圍從0到x

3.証π/4＜∫(1-x^4)^(1/2) dx ＜(π*根號2)/4　　　積分範圍從0到1

抱歉我不會使用一些上標下標的打法，所以麻煩多費心了。我正在自學微積分，不要說的太難。（會幾題就寫幾題吧）

Answer 1

1.∫(x2-1)/(x4+3x3+5x2+3x+1)dx=∫[(1-(1/x2)]/[x2+3x+5+(3/x)+(1/x2)]dx=∫[1-(1/x2)]/[(x+1/x)2+3(x+1/x)+3]dx令y=x+(1/x),dy=[1-(1/x2)]dx原式=∫dy/[y2+3y+3]=∫dy/[(y+3/2)2+3/4]=∫(4/3)/[((y+3/2)/(√3/2))+1]=(2/√3)tan-1((2/√3)(y+3/2))+C=(2/√3)tan-1((2/√3)(x+(1/x)+3/2)+C2.首先f(0)=(02+1)e-0=1,利用微積分基本定理:f'(x)=2xe-x-(x2+1)e-x+f(0)*e-x=(-x2+2x)e-x取積分:f(x)=∫(-x2+2x)e-xdx=x2e-x+Cf(0)=1=0+C=>C=1=>f(x)=x2e-x+13.∵0≦x≦1,取0
2006-07-30 23:20:27 補充：
第七行打錯了:應該是{[(y+3/2)/(√3/2)]^2+3/4}才對

2006-07-30 23:56:36 補充：
又錯了！應該是{[(y+3/2)/(√3/2)]^2+1}

2006-07-31 16:18:09 補充：
第一題要加上一個條件:x≠0

Answer 2

第2題:題目錯,解答也不對喔!
題目應是:f(x)=(x^2+1)e^(-x)+∫f(x-t)e^(-t)dt (不是 dx)
解答: f(x)=3 - 2(x+1)exp(-x) 吧!?

Answer 3

因 (1-x^4)=(1+x^2)(1-x^2)
若 0≦x≦1 ,則 1≦1+x^2≦2
==> √(1-x^2)≦√(1-x^4)≦ √2√(1-x^2)