請問x^2+5=y^2的正有理數解?

Question

請問一下，下列這個方程式
x^2+5=y^2
的正有理數解有哪些? (^2代表平方)
聽說這是以前一位數學家和一位國王討論出來的，順便想請問一下有人知道詳細的歷史背景嗎? 多謝。

Answer 1

x2＋5＝y2 → y2－x2＝5 → (y＋x)(y－x）＝5令 y＋x＝A、y－x＝B ，代入上面方程式，以及解方程式：→ AB＝5、y＝(A＋B) / 2、x＝(A－B) / 2∵要求正有理數數解，∴x、y＞0 → A＞B＞0( AB＝5 → A、B同號 )( y＝(A＋B) / 2＞0 → A、B＞0）( x＝(A－B) / 2＞0 → A＞B)再由 AB＝5、A＞B＞0 可以得到A2＞AB＝5 → A＞√5B2＜AB＝5 → B＜√5所以綜合上面結果可以知道：方程式 x2＋5＝y2 正有理數的通解為：x＝(A－B) / 2、y＝(A＋B) / 2，其中 AB＝5 且 A＞√5＞B＞0◆若需要求出正整數解，由條件可以得知 → A、B 均為整數。（∵x＝(A－B) / 2、y＝(A＋B) / 2 為整數，x＋y＝A、y－x＝B 也為整數）加上原來條件 AB＝5 且A＞√5＞B＞0 可以得到→ A＝5、B＝1→ x＝(A－B) / 2＝2、y＝(A＋B) / 2＝3◆至於歷史沒聽過耶～應該跟數論有關，找到再跟你說！^_^

Answer 2

此方程式的正有理數解，應該有無限多組解，而其一般解，我算出有2組，如下所示:

X=| (5a^2 - b^2)/2ab | ，Y=| (5a^2 + b^2)/2ab | 或
X=| (a^2 - 5b^2)/2ab | ，Y=| (a^2 + 5b^2)/2ab |

其中a、b為任意自然數，而 |……| 表絕對值
例如:a=2、b=1 =>X=19/4、Y=21/4 或 X=1/4、Y=9/4

因為是吃宵夜上網時，隨手拿一張A4紙算的，如有遺漏、不完備或有疑議的，歡迎糾正及提問，謝謝!

至於這個題目的歷史背景，我並不清楚，真不好意思!

2006-07-30 10:12:56 補充：
若令A=5(a/b)、B=(b/a)，並代入上式，就會得到〝回答者：cutebaby(實習生3級)〞的公式解；若令a=k、b=1，並代入上式，就會得到〝[補充意見]克勞棣(專家1級)〞的公式解﹗

Answer 3

無限多個吧！沒有多少討論的價值ㄝ
(y+x)(y-x)=5
令y+x=k，則y-x=5/k
x=(k^2-5)/(2k)，y=(k^2+5)/(2k)
倒是正整數解只有(2,3)一組。