試證排列組合公式C(m,n)為整數？

Question

高中教的排列組合公式C(m,n)，
試證明C(m,n)為整數，
ex::C(4,3)=C(4,1)=4!/1!(4-1)!=4為整數。
為何C(m,n)代入皆為整數？

聽了之後只了解
m!/n!是整數，
但還是不了m!/(m-n)!n!為何是整數？

拿法來講是整數，我知道，但我想從數學的公理來看這問題。

Answer 1

這等於證明「連續n個正整數的乘積為n！的倍數」(n為正整數)，很久以前我在知識+有做過。這是雙重的數學歸納法，針對雙變數的證明。如果你看不懂這個證明，可以看看我在該題意見欄的補充。首先，顯然(j+1)*(j！的倍數)會成為(j+1)！的倍數(j為正整數)當n=1時，顯然「連續1個正整數的乘積為1！的倍數」成立。當n=2時，「連續2個正整數的乘積為2！的倍數」也成立。(因為連續兩數必有一數為偶數，其乘積為偶數)假設當n=j時，「連續j個正整數的乘積為j！的倍數」成立。當n=j+1時，(以下之目標在於證明連續(j+1)個正整數乘積為(j+1)！的倍數)考慮以下(j+1)個數的乘積(a為正整數)：a(a+1)(a+2)(a+3).....(a+j)當a=1時，1*2*3*....(j+1)=(j+1)！，為(j+1)！的倍數假設當a=k時，k(k+1)(k+2)(k+3).....(k+j)為(j+1)！的倍數，令其為(j+1)！*t(t為正整數)當a=k+1時，(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)(k+j+1)=k(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)  +  (j+1)(k+1)(k+2)(k+3)....(k+j)=(j+1)！*t  +  (j+1)*(連續j個正整數的乘積)=(j+1)！*t  +  (j+1)*(j！的倍數)=(j+1)！*t  +  (j+1)！的倍數=(j+1)！的倍數因此「連續(j+1)個正整數乘積為(j+1)！的倍數」恆成立，因此「連續n個正整數的乘積為n！的倍數」恆成立。

Answer 2

選太快，我說錯了

2006-07-30 11:19:57 補充：
應該是m,m-1,...(m-n+1)有n個(m-(m-n+1)+1=n)，所m*m-1*...(m-n+1)除n!即為整數。

Answer 3

C(m,n)=m!/(m-n)n!=m*(m-1)*.......*(m-n+1)/n!
m*(m-1)*.......*(m-n+1)是一個有N個數連續的整數
n!也是一個有N個數連續的整數 n!=n*(n-1)*.....*2*1
每1個連續整數一定有1的倍數 每2個連續整數一定有2的倍數.....
每n個連續整數一定有n的倍數 所以說分母分子就可以約掉 答案就是整數了

從另外的個角度來看 C(m,n)就是在m個東西中 取出n個有幾種拿法 拿法總不會有小數點吧！