[數學] x^x^x^x^...^x = 2，求 x = ?

Question

x^x^x^x^...^x = 2，求 x = ?解答是：x^x^x^x^...^x = 2x² = 2x = ±√2我覺得很奇怪，解答怎麼沒取正值捨負值？可是我也不會證明負值不合！(1)這題的答案真的是 ±√2 嗎？還是 √2 而已？如果是 √2 而已，要怎麼證明 -√2 不合呢？(2)若把原式改成：x^x^x^x^...^x = 4解出來的 x 同樣等於 ±√2但若將其中一解 √2 代入 x^x^x^x^...^x，得到的答案卻是 2，而非 4這是為什麼呢？要如何判斷解出來的答案不合呢？以上請數學高手幫我解答疑惑，不會或不懂的人可以不必回答！謝謝！

給 yen_hao_chen，
有關的詳解，樓下的幾位大大有說明，請參考看看哦！

給天邊的一片青草，
您的詳解非常清楚易懂！
不過「紅字」的部分，我看得不是很懂！
例如，由這句「x = ±√2」推論「很明顯的這根本不可能」，這其中的理由是什麼？
是因為「x = ±√2」是「x^x^x^x^...^x = 2」的解，所以才不可能是「「x^x^x^x^...^x = 4」的解嗎？

給天邊的一片青草，
如果是這樣的理由，你推論是「原設錯誤」，那要如何避免「原設錯誤」呢？
應瞭解「x^x^x^x^...^x」的範圍，在某範圍（條件）之內才是「收斂」，範圍之外的就是「發散」，這樣的說法對嗎？
如果這樣的說法是對的，那這個範圍（條件）是什麼？
還有，您說「x^x^x^x^...^x 並不可能收斂於 4」是因為「√4 = 2 是整數」？這句話我看不懂，可否詳述？
您的補充說明中，x = -√2 時，並不能滿足分數指數的定義，可否證明之？
謝謝您的詳細解答，懇請您再次回答我的補充問題。謝謝！

給耗呆小綿羊，
您的回答也是相當詳細！
您的計算中，先取 ㏑（或 ㏒），自然已預先排除了 x < 0 的可能性！
所以您最後解出來的答案，再以「因為真數不可小於 0」的理由捨去負值的解。
這樣似乎還不能夠堅強地證明 x 不能取負值哦！還有其他方法嗎？
還有，若將原式改為 x^x^x^x^...^x = 4，解 x 時，確實有四解，即 x = ±√2、±√-2（但虛根肯定不合）
但是 x = ±√2 的解又有問題，也就是說，將其值代入計算，所得到的答案不是 4
所以我才有疑惑，這是什麼原因？

給帥哥阿明仔，
我有疑惑，(-√2)^(-√2) = 1 / (-√2)^(√2) 不是嗎？怎麼會沒有意義呢？
我也是擔心 x = -√2 只是增根的現象，但即使是增根，也可以證明其解不合吧？
抱歉啊，我是很鑽牛尖，但我只想更清楚瞭解，所以請您別嫌煩唷^^
您的那本書也有類似這題啊？那個 e 是指微積分裡學的 e 嗎？

給我的日子只有混，
謝謝您給我意見，不過我想請問，此函數的定義域是？

各位數學高手，我真的太感謝你們了！
原本以為這題很單純，只是解解 x 的計算而已
想不到所限制的條件有這麼大的學問
各位高手的功力實在讓我大開眼界@Q@

非常謝謝回答欄上解答的高手，
每位提供給我的解答，都對我很有幫助
但最佳解答只能給一個…
我比較頭痛的是，要給「天邊的一片青草」還是「豪哥」>0<
因為他們提供的解答最完整！
如果可以複選的話，我要把最佳解答給這兩位！
但最佳解答仍只能決定一個…

我想了很久，還是決定給「天邊的一片青草」好了
因為他把我所補充的問題，一題不漏地耐心回答完，我很感動！
我想，這大概花了他很多時間，去找資料、整理、打字、繪圖~~~
以付出的心血來講，不給他最佳解答實在很對不起他！
這樣對豪哥來講，我也覺得很抱歉 >"< 只希望您不要介意啊~~
您提供的答案，對我也有莫大的幫助，我非常感恩哦~~
希望下次有問題，各位高手還能幫助我，感恩~~

另外，也非常感謝意見欄上的「我的日子只有混」
繪出這麼棒的圖形讓我更加瞭然~~謝謝！謝謝！

Answer 1

導1.完備性公設設為實數所成的數列,若(1) 是遞增數列且有上界(2) 是遞減數列且有下界則數列必收斂於一實數kif ak=x^x^x^x^...^x = kak+1=xk 因為k=2ak+1=x2 數列必收斂於一實數 2ak+1=x2=2 x=±√22.(2)若把原式改成：x^x^x^x^...^x = 4解出來的 x 同樣等於 ±√2??x x^x^x^x^...^x=4x4=4x=±√2??解出來=±√2??很明顯的這根本不可能所以是原設錯誤x^x^x^x^...^x並不可能收斂於 4因為 √4=2 是整數

2006-07-28 18:55:08 補充：
x=-√2時並不能滿足分數指數的定義所以不可取-√2

2006-07-28 19:19:06 補充：
其實看了 "帥哥 阿明仔"回答後
我發現這一題沒這麼簡單
如果我找到相關的證明
我在補貼上來
另外修正我的回答:
x=-√2時
並不能滿足分數指數的定義
所以不可取-√2

2006-07-28 21:45:43 補充：
你的新疑問我會盡快補充的...

2006-07-28 21:51:57 補充：
我有些東西還需查證
尤其是y = x^x^x^……^x 的值域
我可能明天一次補充完畢
請耐心等候

2006-07-29 06:27:29 補充：
可以請問"豪哥"
∴lim(n->∞)an+1=lim(n->∞)an^√2
=>A=A^√2
由劃圖可得知:A=A^√2的解為2,4
這邊的圖要怎畫呢??
再者,A=A^√2的解為2,4??

2006-07-29 15:56:53 補充：
1.例如，由這句「x = ±√2」推論「很明顯的這根本不可能」，這其中的理由是什麼？
我们假設y=F(x)=x^x^x^x^...^x
任何函數都有其定義域和值域
尤拉曾經導出 e^(-e) [0.065988036]≦ x(定義域) ≦ e^(1/e)[1.444667861]
我另外導出 e^(-1)[0.367879441] ≦ y (值域) ≦ e[2.7182818284590452]
x = -√2 時
不在定義域內ㄛ

2006-07-29 15:57:05 補充：
2.
是因為「x = ±√2」是「x^x^x^x^...^x = 2」的解，所以才不可能是「「x^x^x^x^...^x = 4」的解嗎？
x^x^x^x^...^x = 4= y (值域) > e
所以才不可能是「「x^x^x^x^...^x = 4」

2006-07-29 15:57:20 補充：
3.
如果是這樣的理由，你推論是「原設錯誤」，那要如何避免「原設錯誤」呢？
滿足定義域&y (值域)


4.應瞭解「x^x^x^x^...^x」的範圍，在某範圍（條件）之內才是「收斂」
，範圍之外的就是「發散」，這樣的說法對嗎？ 這是對的

2006-07-29 15:57:43 補充：
5.如果這樣的說法是對的，那這個範圍（條件）是什麼？
e^(-1)[0.367879441] ≦ y (值域) ≦ e[2.7182818284590452]

6.
還有，您說「x^x^x^x^...^x 並不可能收斂於 4」
是因為「√4 = 2 是整數」？-->這句話是筆誤

2006-07-29 16:11:53 補充：
我貼在這
http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=404

2006-07-29 16:35:30 補充：
還有
http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=406&page=1

2006-07-29 16:44:09 補充：
補充在:http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=407http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=404

2006-07-29 22:48:48 補充：
這一題真的不簡單耶...
各位前輩的回答都很好呢
雖然我只有高中
對極限的概念也不是很懂呢
完備性公設
是看到這一題才去翻書找到的呢
可是也請各位前輩看看我補充的有無錯誤
本人所學不多
不吝各位指教...

2006-07-29 22:51:18 補充：
補充在:
http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=407
http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=404

2006-07-29 23:31:38 補充：
我的心得:
http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=408

2006-07-29 23:33:52 補充：
補充在: http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=407 http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=404 我的心得: http://cocoka.com/article/the195658/?form=view&nid=408

2006-07-30 16:04:58 補充：
"我的日子只有混"
謝謝妳的指教

Answer 2

以直觀的解法:x^x^x^....^x=2=>x^(x^x^x...^x)=2=>x2=2=>x=±√2但就像版主所說的,假如x^x^x...^x=4=>x4=4=>x=±√2很明顯這種解法不通由於答案是給±√2,我先證明(√２)^(√2)^(√2)^...^(√2)=2令a1=√2,a2=a1^√2,...,an+1=an^√2又1<√2<2=>a1=√2<√2^(√2)<√22=2故a1∞)an存在,令其為A∴lim(n->∞)an+1=lim(n->∞)an√2=>A=A√2由劃圖可得知:A=A√2的解為2,4但數列{an}的上界為2,故4不合也就是說(√2)^(√2)^.....^(√2)=2很明顯的,-√2不合,因假如(-√2)^(-√2)^....^(-√2)=2數列{an}為遞減數列且有下界-2a1=-√2,故其極限值不可能是2

2006-07-29 17:22:19 補充：
稿個大烏龍！睡覺前作數學果然容易出錯,重打!a1=√2,又1<√2<2a1=(√2)^1<(√2)^(√2)=(√2)^a1=a2=>a1lim(n->∞)an=lim(n->∞)(√2)^(a(n-1))=>A=(√2)^A=>A=2 or 4(不合,因數列的上界為2)=>A=2=>(√2)^(√2)^...^(√2)=2

Answer 3

你這個問題的括號在哪裡?
我算過了,(1.414)^1.414,
一直重複這個動作之後,
結果並不是2.

2006-07-28 16:26:00 補充：
你的解法並沒有錯呀!
x^[x^...^(x^[x^(x^x)])]=2,請注意指數的方向是由右而左的(←)
再繼續往左增添一個x,變成x^2=2,解出來確實是x=±√2
但是我們取正值,並沒有什麼特別的理由
只是因為這個結果出來,一定是正的而已
把-√2代進去:(-√2)^(-√2),沒意義,
第一層就算不出來,以下的就不用說了
更何況我認為只要知道√2是它的一個解就可以了
討論-√2是不是解沒有任何的意義,因為很可能只是單純的方程式增根現象
就像我們在解其它的方程式時,也會出現一些不是我們想要的答案

至於你的第二個問題,我的這本"毛起來說e"裡面有說到
若e^(-e)≦x≦e^e,則x^[x^...^(x^[x^(x^x)])]收斂,
你的4>e,所以數列是發散的,上述的解法不適用
至於詳細的證明,不要問我,因為我也不會!

數學證明固然重要,但是與數學之間的感覺,
卻也是不容忽視的

2006-07-28 16:28:12 補充：
更正:e^(-e)≦x≦e^(1/e)

2006-07-29 08:12:55 補充：
對 指數函數y=a^x有限定a>0,a不等於1

Answer 4

-√2 不在 x^x 此一函數的定義域內，所以不合。

2006-07-28 21:35:45 補充：
y = 4 不在 y = x^x^x^……^x 的值域內，所以無解。

2006-07-29 11:01:33 補充：
豪哥的數列應更正成： a(n+1)=√2^a(n)
所以 A = √2^A ，解得 A = 2 或 4

2006-07-30 00:18:17 補充：
"天邊青草"很認真、也很有心！
雖然只是高中生，但做到這樣很值得嘉獎。你很強的呦，比我還厲害呢！

2006-07-30 01:24:06 補充：
http://tw.pg.photos.yahoo.com/ph/kenino15/detail?.dir=b03dscd&.dnm=3345scd.jpg&.src=ph
這是取 1001 個冪次來逼近y = x^x^…^x 的圖形，也就是 a(1001) 。
大概在 x = √2 後，斜率增加變得更急遽。

Answer 5

我是用對數 ln 計算的：x^x^x^x^...^x = 2令 y＝x^x^x^x^...^x , y＝2ln y＝y ln x , ln 2＝2 ln x , ln 2＝ln x^2x^2＝2 , x＝±√2(1) 如果是 √2，可能是當 x 為上述對數 ln 的真數時，真數＞０，不可為負數。(2) x^x^x^x^...^x = 4 , x^4＝4 , x^2＝2 , x＝±√2、±√－2我發現到的是…我用 C 語言程式計算也是近似於 2而計算 2^√2^√2^√2^√2...^√2 是近似於 4，與題目不合。

2006-07-28 21:22:24 補充：
第 (2) 題最好是問數學老師，這題我高中的時候有算過，忘了第 (2) 題的解答。

Answer 6

1. The answer is really ±√2, since (-1)^(2n)=1, n is integer.
2. The answer is really ±√2,
x^x^x^x^...^x = 4 => x^4=4, x=±4^(1/4)=±(2^2)^(1/4)=±2^(1/2)=±√2
why "但若將其中一解 √2 代入 x^x^x^x^...^x，得到的答案卻是 2，而非 4"?
Can you list the detailed calculation for this? The answer should be 4, not 2.

Answer 7

我想問一下[2^(1/2)]^[2^(1/2)]
這種次方數是無理數的要怎麼算?

Answer 8

給阿明仔：
您可能算錯了！要從最上面算下來，一直重覆這樣算，答案會趨近於 2

給石娘：
^ 是次方的意思，而 x^x^x^x^...^x 是指 x^(x^(x^(x^(...^x))))
例如 2^2^2^2 = 2^2^4 = 2^16，要從最右上方開始算下來

　　　　ｘ
　　　…
　　ｘ
　Ｘ
Ｘ　　　　 ＝ ２

瞭解了嗎？

2006-07-28 10:08:13 補充：
剛才不知道是誰在意見欄留說這是發散數列！（還說抱歉不證明了）
已經刪掉了！拜託，行行好！想好再給意見吧！別造成別人的困擾！

2006-07-28 10:30:15 補充：
用電腦算比較快，如 Excel...，算到最後，值會等於 2