關於工程數學的題目

Question

幫解答案拜託
1.x^2y\'\'+xy\'+(x^2-4)y=0
2.x^2y\'\'-2.5xy\'-2.0y=0

這題型該用哪個公式解阿
我學過的是沒x...有x之後不知道之前學的也適用嗎?=.=

y\'\'+2y\'+2y=650e^2x*cos(3x)
後面關於650e^2x*cos(3x)
比較不會去解和微分=.=

拜託啦

Answer 1

　　版主您好，讓我幫您解解看這些題目。*1. x2 + xy' + ( x2 - 4 )y = 0sol：　　這題，說實在 ...... 很難！是常微分方程式中( ODE )級數解的 Bessel 方程式喔！我將觀念列出如下。　　Bessel 方程式：x2y'' + xy' + ( x2 - υ2 )y = 0　　解為：y(x) = c1Jυ(x) + c2J - υ(x)　　　或　y(x) = c1Jυ(x) + c2Yυ(x)　　Jυ(x) 為第一類 υ 階 Bessel 函數( Bessel function of the first kind of order )。　　Yυ(x) 為第二類 υ 階 Bessel 函數，又稱 Neuman 函數。　　而且 J - υ(x)、Yυ(x) 皆由 Jυ(x) 推導而來，都是極繁複的級數加上偏微分推衍；考試的時候只需將 Bessel 方程式的型式寫出，並注明這是 Bessel 方程式，就可以直接寫答案了，那麼就開始作答吧。*　　x2 + xy' + ( x2 - 4 )y = 0 ～ Bessel 方程式　　υ2 = 4 → υ = 2　　解為：y(x) = c1J2(x) + c2J - 2(x)　　　或　y(x) = c1J2(x) + c2Y2(x) #　　上面兩個答案擇一個寫就可以了。*2. x2y'' - 2.5xy' - 2.0y = 0sol：　　這是標準的二階 Cauchy - Euler 方程式，型式為：ax2y'' + bxy' + cy = r(x)　　這題 r(x) = 0，所以只需算齊次解( homogenous solution )不需算特解( particular solution )，我開使用標準做法來解。*　　令 y = xm 　　→ y' = m xm - 1　　　 y'' = m( m - 1 )xm - 2　　將上面結果代入 x2y'' - 2.5xy' - 2.0y = 0　　x2 [ m( m - 1 )xm - 2 ] - 2.5x [ m xm - 1 ] - 2.0xm = 0　　→ m( m - 1 )xm - 2.5mxm - 2.0xm = 0　　→ m( m - 1 ) - 2.5m - 2.0 = 0　　→ m2 - 3.5m - 2.0 = 0 ～ 特徵方程式( characteristic equation )　　→ ( m + 0.5 )( m - 4 ) = 0　　→ m = - 0.5 , 4 ～ 相異實根　　解為：y(x) = c1x - 0.5 + c2x4 #　　考試時通常直接寫出特徵方程式，不用像這樣令 y = xm 慢慢推導，除非老師有要求才需如此推導喔！*3. y'' + 2y' + 2y = 650e2xcos 3xsol：　　標準的二階 ODE，型式為：ay'' + by' + cy = r(x)　　r(x) ≠ 0，要算齊次解跟特解喔！*　　先求齊次解( homogenous solution )。　　特徵方程式：r2 + 2r + 2 = 0　　→ r = [ - 2 ± √( 22 - 4×2 ) ]／2 　　　  = [ - 2 ± 2 i ]／2 　　　  = - 1 ± i ～ 共軛複根 　　→ yh = e - x( c1cos x + c2sin x ) ～ homogenous solution 　　再利用未定係數法( method of undetermined coefficient )求特解( particular solution )。 　　令 yp = e2x( A cos 3x + B sin 3x ) 　　→ yp' = 2e2x( A cos 3x + B sin 3x ) + e2x( - 3A sin 3x + 3B cos 3x ) 　　　 yp'' = e2x( - 5A cos 3x - 5B sin 3x ) + e2x( - 12A sin 3x - 12B cos 3x ) 　　yp'' + 2yp' + 2yp = 650e2xcos 3x 　　→ e2x( A cos 3x + B sin 3x ) + e2x( - 18A sin 3x + 18B cos 3x ) = 650e2xcos 3x　　比較係數得：A + 18B = 650　　　　　　　　- 18A + B = 0　　解得：A = 2　　　　　B = 36　　→ yp = e2x( 2 cos 3x + 36 sin 3x ) ～ particular　　通解( general solution )：y = yh + yp　　→ y = e - x( c1cos x + c2sin x ) + e2x( 2 cos 3x + 36 sin 3x ) #*　　全算完了，希望以上解答過程能幫助您。

2006-07-25 15:22:58 補充：
　　唉呀！對不起，我真的沒注意到，因為看到基本型的Bessel方程式太開心了，加上公式背太熟......>_<
　　版主，所以答案要選y(x) = c1J2(x) + c2Y2(x)這個才對喔！

Answer 2

龍昊哥你好，當ν為整數時，J(ν,x)和J(-ν,x)是線性相依的兩個函數，不能拿來當第一題的解。
使用Bessel function First Kind和Second Kind 的合成當解才恰當。
即 y(x) = c1．J(ν,x) + c2．Y(ν,x)