如題，為什麼重心到一頂點的距離會等於它到對邊中點距離的兩倍，如何證明?
2006-07-23 12:29:22 · 3 個解答 · 發問者 育安 2 in 科學 ➔ 數學
圖片參考：http://home.pchome.com.tw/net/cloudyma/qid1206061017148.JPG
如圖，△ABC中，線段BE是AC邊上的中線；線段AD是BC邊上的中線；BE與AD交於G點，即所謂的重心。在AD延長線上取一點F，使得FD=DG，在△BDG與△FDC中，FD=DG，BD=DC(BC中點)，∠BDG=∠FDC(對頂角)，故△BDG全等於△CDF(SAS全等)故∠BGD=∠CFD，故直線BE//直線FC觀察△AFC(紅色邊框者)，E為AC邊中點，GE//FC，故G為AF中點，AG=GF，又GD=DF(三角形全等)，故GD=(1/2)GF=(1/2)AG同理可證其他兩條中線的情況。
2006-07-23 21:44:38 · answer #1 · answered by ? 7 · 0⤊ 0⤋
定義..你知道吧 三角形的重心是三個頂點到對邊中點的連線的交點
令AB中點為D AC中點為E BC中點F 重心為G點
因為三角形AFB的面積=三角形CBD的面積=(三角形ABC面積)/2
所以三角形AGD面積=三角形CGF面積
又三角形EBC的面積=三角形AFC的面積=(三角形ABC面積)/2
所以三角形GFB的面積=三角形AGE的面積
三角形CGF面積=三角形GFB的面積(因為F是BC中點)
三角形AGD面積=三角形BGD得面積
三角形AGE的面積=三角形EGC的面積
因此三角形CGF面積=三角形GFB的面積=三角形AGD面積=三角形BGD得面積=三角形AGE的面積=三角形EGC的面積
因此三角形AGD面積:角形AGE的面積+三角形EGC的面積+三角形AGD面積=1:3
因此線段DG長:線段DC長=1:3
=>線段DG長:線段GC長=1:2
同理可證線段EG:線段GB=1:2
線段FG:線段GA=1:2
所以三角形重心到一頂點的距離會等於它到對邊中點距離的兩倍
2006-07-23 14:54:05 · answer #2 · answered by 長牙獅零式 2 · 0⤊ 0⤋
三中線分三角形為6塊等積三角形
用面積証 題目的兩線段當底
高一樣 面積1：2 底就1：2了
抱歉 我畫的圖無法貼上 希望看的懂
2006-07-23 13:21:16 · answer #3 · answered by 美女 1 · 0⤊ 0⤋