請問誰可幫我解釋這題積分怎麼解出來

Question

∫(x^3)e^(-x^2)dx    區間0到無限X的三次方乗以e的-X二次方

Answer 1

利用部分積分就 OK 了～

【部分積分法】∫u dv＝uv－∫v du。
（ 因為由連鎖律 d(uv)＝u dv＋v du → uv＝∫1 d(uv)＝∫(u dv＋v du ) ＝∫u dv＋∫v du）

你的問題 ∫[ ( x^3*e^(－x²) ] dx 可以先考慮 d [ e^(－x²) ]。
「解」
因為 d [ e^(－x²) ]＝(－2x)*e^(－x²) 所以得到：

∫[ ( x^3*e^(－x²) ] dx

＝∫(－x² / 2) d [ e^(－x²) ]
（因為 x^3＝(－x² / 2)*(－2x)）

＝(－x² / 2)*e^(－x²) －∫[ e^(－x²) ] d(－x² / 2)
（令 u＝－x² / 2、v＝e^(－x²)，利用部分積分法）

＝(－x² / 2)*e^(－x²) －∫[ e^(－x²) / 2 ] d(－x²)
（因為 d(－x² / 2)＝( 1 / 2 )*d(－x²)）

＝(－x² / 2)*e^(－x²) －e^(－x²) / 2
（因為 ∫e^x＝e^x → ∫[ e^(－x²) / 2 ] d(－x²)＝e^(－x²) / 2 ）

＝(－x²) / [ 2*e^(x²) ]－1 / [ 2*e^(x²) ]
（因為 e^(－x²)＝1 / e^(x²)）

從 0 積分到 ∞ 且 (－x²) / [ 2*e^(x²) ]、1 / [ 2*e^(x²) ] 在 x＝∞ 時的值為 0，故得到：
∫( 0,∞ ) [ ( x^3*e^(－x²) ] dx
＝(－x²) / [ 2*e^(x²) ]－1 / [ 2*e^(x²) ]｜x＝(0,∞ )
＝－1 / 2◆

2006-07-19 17:32:32 補充：
抱歉，計算錯誤～是 1 / 2 才對！ ^_^

Answer 2

(x³)e^(-x²)在 x = 0 ~ ∞ 的區間內，恆正，所以積出來的結果必為正值。
cutebaby兄你應該是上下限代錯了，以致答案多了一個負號。

Answer 3

∫0∞x3e-x^2dx=lim t →∞∫0t x3e-x^2 dx=lim t →∞∫0t (1/2)(-x2)e-x^2(-2x)dx=lim t →∞ (1/2)∫0t (-x2)e-x^2(-2x)dx=lim t →∞ (1/2)((-x2)e-x^2∣0t -∫0t e-x^2(-2x)dx)　(分部積分)=lim t →∞ (1/2)(-t2 e-t^2 - (e-x^2∣0t))=lim t →∞ (1/2)(-t2 e-t^2 - e-t^2+1)=(1/2) lim t →∞ (-(t2 +1)e-t^2 + 1)=(1/2) lim t →∞ (-(t2 +1)/et^2 + 1)=(1/2) ((lim t →∞ -(t2 +1)/et^2) + 1)=(1/2) ((lim t →∞ -2t/(2tet^2)) + 1)　(羅必達)=(1/2) ((lim t →∞ -1/et^2) + 1)=(1/2) (0 + 1)=1/2