有關最大公因數的應用

Question

有一個實心長方體木塊 長80公分 寬64公分 高48公分 若將其表面塗滿了黃色顏料 在將它切成大小相同的正方體 而不使其剩下 :
( 1 ) 最少可以切成幾塊 ????
( 2 ) 承 ( 1 ) 所切成的小正方體中 任何一面均無黃色顏料的有幾塊????

請回答的數學達人可以很白化的跟我說明為什麼是這樣嗎??
因為我深受這類型題目困擾 只要題目文字一改變我就又不會了 麻煩大家了 苦惱中的我

Answer 1

圖片參考：http://home.pchome.com.tw/net/cloudyma/qId1106070710894.jpg
為了不混淆，所以故意不選擇黃色來塗。( 1 ) 最少可以切成幾塊 ????算80,64,48的最大公因數即可，最大公因數是1680/16=5，64/16=4，48/16=3，所以最少切成5*4*3=60塊( 2 ) 承 ( 1 ) 所切成的小正方體中 任何一面均無黃色顏料的有幾塊???? 恰有一面塗到顏料者(淺綠色)：6*2+3*2+2*2=22恰有兩面塗到顏料者(淺藍色)：10(第一層)+4(第二層)+10(第三層)=24恰有三面塗到顏料者(淺灰色)：8(長方體的八個頂點處)完全沒塗到者=60-22-24-8=6還有一個更快的方法，第一層和第三層的每一個顯然都會被塗到，第二層邊邊的14個也會被塗到，所以只有中間的6個不會塗到。再一個方法是用公式，不會被塗到者=(長-2)(寬-2)(高-2)=3*2*1=6

Answer 2

(1)
你要從長方體木塊的長切幾刀，寬切幾刀，高也切幾刀，
切完之後還要是正方形，
所以正方形的邊長必須是長、寬、高的公因數，
而且問最少切幾塊，所以你的正方形邊長越長越好，所以取
長、寬、高的最大公因數，
先算(80,64,48)=16
所以長切了80/16=5刀
寬切了64/16=4刀
長切了48/16=3刀
所以可以切成5*4*3=60個正方形

(2)
長切了5刀，想想看，
假設切成這樣 _ _ _ _ _
最外面的兩段
再切寬跟高的時候，
出來的正方形一旁都有顏料，
所以沒顏料的有5-2=3段
所以寬一樣有4-2=2段
高有3-2=1段
總共有3*2*1=6塊