〔高等微積分］黎曼可積分的性質

Question

令f(x):[a,b]->R為一遞增函數試證:f(x)在[a,b]為黎曼可積分

Answer 1

證明：

令 ε>0。
我將證明存在 [a,b] 的分割 P 使得
上黎曼和 U[P](f) 和下黎曼和 L[P](f) 符合 U[P](f) - L[P](f) < ε

令 M = sup[x∈[a,b]] f(x)
令 P 為 [a,b] 的 N-均勻分割, h = (b-a)/N 是子區間長 且 h < ε/(2M)
分割點 x[k] = a + hk, k = 0, 1, ..., N

上黎曼和 U[P](f) = ∑ sup_[x ∈ [x[k-1], x[k]] ] f(x) h = ∑ f(x[k]) h　（因為 f 遞增故最大值在右分割點）
下黎曼和 L[P](f) = ∑ inf_[x ∈ [x[k-1], x[k]] ] f(x) h = ∑ f(x[k-1]) h 　（因為 f 遞增故最小值在左分割點）

U[P](f) - L[P](f) = ∑ ( f(x[k]) - f(x[k-1]) ) h
= h( f(b) - f(a) )
≤ h(2M) < ε

∴ f 黎曼可積分

證明完畢：：