〔線性代數］特徵值與特徵向量

Question

假設A,B為佈於R上的n*n矩陣試證:AB和BA具有相同的特徵值

Answer 1

基本上，原因就是：
當 ABx = λx
BA(Bx) = B(ABx) = B(λx) = λ(Bx)
當 BAy = μy
AB(Ay) = A(BAy) = A(μy) = μ(Ay)


證明：

若 λ 是 AB 的一個特徵植，則存在 x ∈ Ｒ^n　使得 ABx = λx
BA(Bx) = B(ABx) = B(λx) = λ(Bx)
所以 λ 也是 BA 的一個特徵值

調換 A 和 B 即可知 BA 的特徵值 也是 AB 的特徵值

故 AB 和 BA 具有相同的特徵值

證明完畢：：

2006-07-06 16:10:06 補充：
對不起，「則存在 x ∈ Ｒ^n」改成　「則存在 x ∈ Ｒ^n \ {0}」加：如果 Bx = 0 則 ABx = λx = 0 => λ = 0兩個情形：如果 x ∈ im(A) 則存在 y, x = Ay (y ≠ 0), BAy = 0 => λ = 0 也是 BA 的特徵值不然，如果 x 不屬於 im(A), 則 rank(A) < n, nullity(A) > 0 => 存在 y ≠ 0 使得 Ay = 0 故 BAy = 0 故 λ = 0 也是 BA 的特徵值

2006-07-07 18:05:19 補充：
x ≠ 0 （ａ）若 λ ≠ 0 則 ABx = λx ≠ 0故 Bx ≠ 0 （不然 A(Bx) = 0，矛盾）所以 λ 也是 BA 的一個特徵值（ｂ）若 λ = 0 且 Bx ≠ 0 則從 BA(Bx) = λ(Bx) 可知 λ = 0 也是 BA 的特徵值之一（ｃ）若 λ = 0 且 Bx = 0 則 B 不可逆。若 A 不可逆則存在 v ≠ 0 使得 Av = 0, 所以 BAv = 0 故 λ = 0 也是 BA 的特徵值之一若 A 可逆則 A^(-1)x ≠ 0, BA(A^(-1)x) = Bx = 0 故 λ = 0 也是 BA 的特徵值之一

Answer 2

cgkm:你忘了考慮到另外一種情況

2006-07-06 09:17:32 補充：
證明還不嚴謹,我們知道特徵向量要不為零向量,萬一Bx or Ay=0怎麼辦?

2006-07-07 08:25:09 補充：
嗯,我這樣說好了,當我們寫到BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λ(Bx)
此時如果λ為BA的特徵值,Bx要不為0,如何說明Bx不為零向量?

Answer 3

The problem is trivial when one of A, B are non-singular. (If A is non-singular, then A^{-1}(AB)A = BA and so, AB and BA are similiar matrices. They must have the same eigenvalues.)

2006-07-05 15:55:46 補充：
If both A and B are singular is more subtle. For all e > 0 small enough, it is easy to show that A + eI is non-singular. 同樣方法，show that AB + eB and BA + eB have the same eigenvalues. Use a continuity argument to establish that AB and BA have the same eigenvalues.