〔高等微積分］均勻連續函數的證明

Question

令f:[0,+∞]->R為一連續函數,lim(x->+∞)f(x)=L,也就是說f(x)在無窮遠處的極限值存在試證:f(x):[0,+∞]->為均勻連續函數

應該是:[0,+∞)

Answer 1

我是 ABC，所以如果我的中文很奇怪，請多多包涵！

［證明］
令 ε > 0。我將證明存在 δ > 0 使得 |f(x) - f(y)| < ε 當 |x-y| < δ。

首先：
★ 存在 M > 0 使得|f(x) - L| < ε/2 當 x > M

★★ 令 g:[0,M+1] → Ｒ, g(x) = f(x) （換言之，g = f｜[0,M+1]）
g 連續，[0,M+1]緊，故 g 均勻連續
故存在 θ > 0 使得 |f(x) - f(y)| = |g(x) - g(y)| < ε 當 |x-y| < θ, x, y ∈[0, M+1]

令 δ = min(θ, 1)
令 x ≥ 0, y ≥ 0, |x - y| < δ

當 x > M, y > M：
|f(x)-f(y)| = |f(x) - L + L - f(y)|
≤ |f(x) - L| + |f(y) - L| < ε/2 + ε/2 = ε　（因為★）

當 x ≤ M, y ≥ 0：
（y ≤ M + 1 因為 |x-y| < δ ≤ 1）
|f(x) - f(y)| = |g(x) - g(y)| < ε　（因為★★）

當 y ≤ M, x > M：
（x ≤ M + 1 因為 |x-y| < δ ≤ 1）
|f(x) - f(y)| = |g(x) - g(y)| < ε　（因為★★）

證明完畢：：

Answer 2

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