請詳細證明：[tan(3π/11)＋ 4 sin(2π/11)]2 = 11
2006-06-26 18:01:32 · 5 個解答 · 發問者 ? 4 in 科學 ➔ 數學
第一位回答者不算，剩下兩位旗鼓相當，就交付投票吧。
2006-07-10 06:38:28 · update #1
～～為節省時間，算式前面恕略～～預備定理：cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)=-(1/2)------------------------------------------------------------------------平方展開，化成sin，cos形式，平方者用半角公式降次(分母除外)左式變成一個分數，分母=cos2(3π/11)分子=(1/2)-cos(6π/11)/2+4sin(6π/11)*sin(2π/11)+4(1-cos4π/11)(1+cos6π/11)]=(1/2)-cos(6π/11)/2-2[cos(8π/11)-cos(4π/11)]+4+4cos(6π/11)-4cos(4π/11)-4cos(6π/11)cos(4π/11)=(1/2)-cos(6π/11)/2-2cos(8π/11)-2cos(4π/11)+4+4cos(6π/11)-2cos(10π/11)-2cos(2π/11)=(1/2)-cos(6π/11)/2+4+6cos(6π/11)-2[cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)]=(1/2)-cos(6π/11)/2+4+6cos(6π/11)+1=(11/2)[1+cos(6π/11)]=11cos2(3π/11)左式=11cos2(3π/11)/cos2(3π/11)=11
2006-06-27 01:55:29 補充：
Copestone
不要要求太多啦！才5點而已！
預備定理的證明相信您一定會，煩請您代勞了
這題關鍵在降次、積化和差、用恆等式(因為角度特殊)
至於前面跳太多，我覺得不會(至少對您而言)
剛好可讓其他人練習
2006-07-02 14:16:19 補充：
預備定理證明[證法一]令 z=cos(2π/11)+isin(2π/11)=> z^11=1=> z^10+z^9+...+z+1=0比較實部=> cos(2π/11)+cos(4π/11)+...+cos(20π/11)+1=0因為cos(2π/11)=cos(20π/11)............................................cos(10π/11)=cos(12π/11)cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)]=-1/2
2006-07-02 14:25:53 補充：
[證法二]用2sin(π/11)乘以等式左邊，再積化和差2sin(π/11)*[cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)]=[sin(3π/11)-sin(π/11)]+[sin(5π/11)-sin(3π/11)]+...+[sin(11π/11)-sin(9π/11)= - sin(π/11)=> cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)= -(1/2)
2006-07-02 14:28:30 補充：
一般而言cos[2π/(2n+1)]+cos[4π/(2n+1)]+.....+cos[2nπ/(2n+1)]= -(1/2)
2006-06-26 20:28:16 · answer #1 · answered by chuchu 5 · 0⤊ 0⤋
我比較好奇數學家怎找到
√11 = tan( 3π / 11 ) ＋ 4 sin( 2π / 11 )
2006-06-29 22:01:54 · answer #2 · answered by 我的日子只有混 5 · 0⤊ 0⤋
提供一個笨方法(我怕意見額度用完,故佔用回答)
令t=tan(π/11)
tan(3π/11)=(3t-t^3)/(1-3t^2)
sin(2π/11)=2t/(1+t^2)
相加=
(-t^5-22t^3+11t)/(-3t^4-2t^2+1)
平方後
分子=t^10+44t^8+462t^6-484t^4+121t^2....................(1)
分母=9t^8+12t^6-2t^4-4t^2+1..............................(2)
又 tanπ=0
所以 t 滿足tan的11倍角式中分子部份為0
即 11t-165t^3+462t^5-330t^7+55t^9-t^11=0........................(3)
而顯然 t≠０
(3) => t^10-55t^8+330t^6-462t^4+165^t2-11=0.................(4)
由(1)和(4)得分子=
99t^8+132t^6-22t^4-44t^2+11
故結果為11
2006-06-30 11:15:19 補充：
tan的n倍角公式可以在<<毛起來說三角>>一書中找到還滿好記的chuchu的預備定理也只是1的11個11次方根之和為0至於有沒有更好的方法正在思考中......
2006-06-29 04:12:33 · answer #3 · answered by ? 7 · 0⤊ 0⤋
題目沒錯，計算機大約驗算也正確。
tan(3π/11) 約為 1.154061520533
4sin(2π/11) 約為 2.16256327
相加約為 3.31662479
其平方約為 11
2006-06-26 23:57:01 補充：
這位同學，你不夠用功喔。你的計算機是以 degree 來計算 sin, tan 的，你要先把 π 換成 180 度。
2006-06-27 01:33:37 補充：
comments on chuchu's solution:
(1) 預備定理的證明？
(2) 你算分子的第一步跳太多，反而後面你打出來的一些算式中的四則運算可以刪去幾步。
基本上正確，但還不是一個滿意的解答。
2006-06-29 10:25:50 補充：
comment on 老王's solution：
這題多少都要用一點笨方法，此法為把原式子的左邊轉換為 tan(π/11) 的函數，這是一個不錯的主意。只有其中 tan 的 11 倍公式不是教科書公式(same comment as on chuchu's solution)，看起來也是最煩瑣的部份。
有沒有只用教科書中的三角公式，即使笨又不算煩的計算過程呢？
2006-06-26 19:05:29 · answer #4 · answered by ? 4 · 0⤊ 0⤋
題目有錯ㄅ??!!
我用計算機按不是11ㄝ...
你要不要再看看題目
2006-06-26 23:41:11 補充：
為啥我按tan(3π/11) 約為0.01495506
4sin(2π/11) 約為0.039876528
2006-06-27 01:25:12 補充：
原來....ㄏㄏ
2006-06-26 18:50:08 · answer #5 · answered by 餅乾 1 · 0⤊ 0⤋