請問一題微積分的題目..最短距離

Question

好像是考古題．．．
希望各位能幫小弟解答，有特殊作法的話也麻煩教導小弟一下

題目是...
http://home.pchome.com.tw/togo/xvqq/Q2.JPG

麻煩各位了.

請問一下所解出來的λ值，有什麼限制嗎？
例如λ值不可等於 0 之類的..

Answer 1

令g(x,y,z)=x2+2y2-z2,(x,y,z)為√(x2+2y2)=z上的點且滿足√[(x-1)2+(y-2)2+z2]有最小值即[(x-1)2+(y-2)2+z2]有最小值,其中z≧0令f(x,y,z)=(x-1)2+(y-2)2+z2,此為有限制的極值,限制條件:x2+2y2-z2=0,z≧0故▽g(x,y,z)=λ▽f(x,y,z)=>2x-2=2x*λ---(1)2y-4=4y*λ--(2)2z=-2z*λ----(3)x2+2y2=z2---(4)由(3),2z(1+λ)=0,z=0 or λ=-1z=0,x2+2y2=0,x=y=0不合,因x=0代(1)0-2=0故λ=-1,∴x=1/2,y=2/3,z=√41/6故當(x,y,z)=(1/2,2/3,√41/6),f(x,y,z)有最小值(x-1)2+(y-2)2+z2=114/36∴最短距離為√[(x-1)2+(y-2)2+z2]=√114/6

2006-06-25 11:42:40 補充：
錯了,應該是▽f(x,y,z)=λ▽g(x,y,z)才對

2006-06-25 17:08:29 補充：
當然要符合方程式的條件