微積分的二重積分題目..求面積

Question

題目是這樣的..
http://home.pchome.com.tw/togo/xvqq/Q3.JPG

由於函數之中有一個 sin x ，直接算或轉極座標好像都很難算，所以小弟一直不知道要怎麼來解...
希望各位能幫小弟解答..

實在很抱歉...小弟太緊張了
造成筆誤，真抱歉
積分範圍是ㄧ個圓.... x平方＋y平方＝１

徐總大哥，不好意思..之前問題打錯了，小弟已經將問題修正，抱歉造成你的困擾..

Answer 1

計算　　　∫∫　sin x + y³ + 3　dA
　　 　　x² + y² ≦ 1

首先，我們要決定用 x-y 座標來做積分，還是要轉成極座標。
用 x-y 座標來做的話，積分範圍會變得比較醜，
但是用極座標的話，會出現　∫∫ sin( r cosθ ) dA 這種可怕的東西。
相較之下，雖然直接用 x-y 座標積分的積分範圍長得很醜，但應該還在我們能處理的情況之下，所以我們試著用 x-y 座標來做積分。
接下來要決定的是：要先對 x 積分，還是先對 y 積分??
觀察到我們會積到一項 ∫∫ sin x dA，如果先對 x 積分的話，會出現一項 ∫ cos(√( 1 - y² ) ) dy，接下來就不知道該怎麼辦了。
所以我們採取先對 y 積分，再積 x。

　　　∫∫　sin x + y³ + 3　dA
　　 x² + y² ≦ 1

　　　 1　 √( 1 - x² )
　 = 　∫　　　∫　　　sin x + y³ + 3　dy dx
　　　-1　- √( 1 - x² )

　　　 1
　 = 　∫　2 √( 1 - x² ) * sin x + 0 + 3 * 2 √( 1 - x² )　dx　　(注意到 y³ 是奇函數)
　　　-1

　　　 1
　 = 　∫　2 √( 1 - x² ) * sin x + 6 √( 1 - x² )　dx
　　　-1　 └──────┘ └────┘
　　　　　　　　奇函數　　　　偶函數
　　　 1
　 = 　∫　0 + 12 √( 1 - x² )　dx
　　　 0
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 │1
　 = 　12 * ( 1 / 2 )( x √( 1 - x² ) + arcsin x )│
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 │0

　 = 　12 * ( 1 / 2 )( π / 2 )

　 = 　3π

Answer 2

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

Answer 3

我將積分範圍稍微修改....http://home.pchome.com.tw/home/calculus_4u_4/950625_ask1.gif

Answer 4

積分範圍應該錯了, 我猜應該是一個圓吧.

Answer 5

你的積分區間是對的嗎？
如果僅有 x+y≦1 這個條件，
積出來的結果是發散的！