數學好幾題...

Question

1. 三角形ABC中，角A、角B、角C的對邊為a,b,c 若cotC/(cotA+cotB)=99,求 (a^2+b^2)/c^2=? 2. 求函數f(x)=根號(x^4-3x^2+4)+根號(x^4-3x^2-8x+20)的最小值 3. 試求y= -x^2-3x+6 和 x+y-3=0, 所圍區域，繞x=3 所得旋轉體的體積 5. 銳角三角形ABC中，若H為其垂心，且AH=2BC,則cosA=? 7. 一火車站有四個入口處，每個入口處每次只能一人進站，今有五人進站，共有多少種不同進站方式? ------------------------------------ Ans: (1) 199 (2) 4 (3) 256拍/3 (5) 2/根號5  (7) 6720

Answer 1

5. 令AH交BC於D HD=y BD=ka CD=(1-k)a AH=2a
相似三角形 ka/y=(2a+y)/(1-k)a
二次式解y (y>0)
y=(√(-k^2+k+1)-1)a
→ AD=(√(-k^2+k+1)+1)a
AB=√(AD^2+BD^2)=(√(k+2+2√(-k^2+k+1)))a
AC=√(AD^2+CD^2)=(√(3-k+2√(-k^2+k+1)))a
公式
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc (b=AC, c=AB, a=BC)
不要怕代入就對了(先把a消掉)
b^2+c^2-a^2=4+4Z (此處Z=(√(-k^2+k+1))
2bc=2√(10Z+5Z^2+5)=2√(5(Z+1)^2)=2√5(Z+1)
cosA=4(Z+1)/2√5(Z+1)=2/√5

7. 令abcd分別為4個入口的進入人數
則a+b+c+d=5 (abcd為大於等於0之整數)
討論
(5,0,0,0) 4組
(4,1,0,0) 12組
(3,2,0,0) 12組
(3,1,1,0) 12組
(2,2,1,0) 12組
(2,1,1,1) 4組
共56組人數組合
5個人可以任意排列進入
所以每種組合有5！＝120種進入方式
56*120=6720

其他題目已經有人解了

Answer 2

2.√(X^4-3X^2+4)+√(X^4-3X^2-8X+20) ====>因式分解
=√{(X^4-4X^2+4)+X^2}+√(X^4-4X^2+4)+(X^2-8X+16)
=√{(X^2-4)+X^2}+√{(X^2-4)+(X-4)^2}
=√{(x-2)(x+2)+x^2}+√{(x-2)(x+2)+(x-4)^2}
因為根號出來要取決對質(距離)必為正數
而正數+正數只會越來越大 所以要取最小值則另X=2.-2.0帶入
====>X=2
=√{(0*-4)+2*2}+√{(0*-4)+-2^2}
=√4+√- 4=2+2=4 =====>距離必為正 根號出來取決對質
====>X=- 2
=√{(-4*0)+2*2}+√{(-4*0)+-2^2}=√4+√- 4=2+2=4
====>X=0
=√{(-2)(+2)+0}+√{(-2)(+2)+4^2}
=2+√20 比4大 所以答案為4

Answer 3

1. 三角形ABC中，角A、角B、角C的對邊為a,b,c 若求
(a^2+b^2)/c^2=?
cosA=(b平方+c平方-a平方)/2bc
sinA=a/2R
cotA=2R(b平方+c平方-a平方)/2abc
同理
cotB=2R(a平方+c平方-b平方)/2abc
cotC=2R(a平方+b平方-c平方)/2abc
注意：三式皆有2R和2abc，代入cotC/(cotA+cotB)時是會被消掉的
cotC/(cotA+cotB)=99
(a平方+b平方-c平方)/(b平方+c平方-a平方)+(a平方+c平方-b平方)
(a平方+b平方-c平方)/2(c平方)=99
a平方+b平方-c平方=198c平方
a平方+b平方=199c平方
代回題目即得199

Answer 4

2.
令y=x^2
√(x^4 - 3*x^2 +4 ) + √(x^4 -3*x^2 -8x+20)
=√(x^4 - 4*x^2 +4)+x^2　　+　　√(x^4 -4*x^2 +4)+(x^2-8x+16)
= √(y-2)^2+x^2　　+　　√(y-2)^2+(x-4)^2
就是在y=x^2找一點到(0,2)和(4,2)距離最短！
答案就是(0,2)和(4,2)連起來那條直線長度
答案就是(0,2)和(4,2)的距離4....

這是我之前問別人，別人跟我說的...
我也不知道他怎麼會這樣想，頗犀利的作法啊！
p.s這一題前幾天有人回答過:x

2006-06-23 19:41:57 補充：
第三題先求交點-x^2-3x+6=3-xx^2+2x-3=0----->x=-3,1用圓殼法積分2π∫(3-x)(-x^2-3x+6-3+x)dx　　從-3積到1=2π∫x^3-x^2-9x+9　dx=2π/12　[3x^4-4x^3-(9/2)x^2+9x]　從-3積到1=π/6(53+459)=256π/3