幾題號稱奧林匹亞試題讓我百思不得其解的題目

Question

設七位數23ab421為99的倍數，a,b為一位正整數或0，求a,b值。

如上題，答案上是
99=9x11，23ab421是99的倍數，故

2+3+a+b+4+2+1=9的倍數

(2+a+4+1)-(3+b+2)=11的倍數

解聯立，
有下列四種可能，
a+b=6
a-b=9

a+b=15
a-b=-2

a+b=6
a-b=-2

a+b=15
a-b=9

解得(a,b)=15/2,-3/2)，(2,4)，(12,3)，(13/2,17/2)
只有一組合題意
即(2,4)

我不能理解

為什麼要由2+3+a+b+4+2+1=9的倍數
(2+a+4+1)-(3+b+2)=11的倍數

有什麼道理@@

可以跟我解釋嗎???


還有

求720的正因數個數

720=2^4 x 3^2 x 5

答案是

把指數加上1再相乘

也就是

=(4+1)x(2+1)x(1+1)=5x3x2=30

@@

為什麼可以這樣???
有公式可以推導嗎???

正因數的總和更奇怪

是
(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4) x (3^0+3^1+3^2) x (5^0+5^1)
=2418

可以跟我解釋嗎

這些問題都是我真的不會的@@

恩 這很久了

不過很抱歉~
我看不懂...
a_1

To天下掉下來的笨蛋:

第一題我是用你那個方法的。

這些問題我是會解
但是我不理解解答的作法...

我是笨小孩~"~

我是想知道怎麼導出來的...
老師都敎過了...只是沒有說怎麼會這樣...
像
189
1+8+9=18
是3的倍數...
所以189也是3的倍數...

我不懂為什麼這樣就可以知道189也是3的倍數呢???

To米神
如果你會那你就回答阿

恩
我知道那是什麼了~謝謝你

Answer 1

大概是小學的奧林匹亞吧

2006-06-23 03:04:06 補充：
設一數 N 為 N=a_1a_2a_3.......a_n

這數可以重寫為 N = a_n + 10* a_(n-1)+ 100*a_(n-2) + ... + 10^(n-1)*a_1

又可重寫為 N = a_n + [9*a_(n-1) + a_(n-1)] + [99*a_(n-2) + a_(n-2)] + ... + [999...9*a_1 + a_1]
= 9[a_(n-1) + 11*a_(n-2) + ... + 111...1*a_1] + [a_(n-1) + a_(n-2) + ... + a_1]

當 N 除以9時, 9[a_(n-1) + 11*a_(n-2) + ... + 111...1*a_1] 可以整除. 所以 N 若可被9整除, [a_(n-1) + a_(n-2) + ... + a_1] 必須能被9整除


用類似的推理, 若 N 能被 11 整除,
(a_1 + a_3 + a_5+...) - (a_2 + a_4 + a_6 + ...) 必須為11的倍數 (注意: 0為11的倍數)



正因數個數:
先考慮較簡易的例子 16 = 2^4
正因數為 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4

再考慮 6 = 2x3
四個正因數為 1 = 2^0 * 3^0 , 2 = 2^1 * 3^0, 3 = 2^0*3^1, 6 = 2^1*3^1

由此可猜想 #正因數 為此

而正因數合 :

考慮 6 = 2x3
四個正因數為 1 = 2^0 * 3^0 , 2 = 2^1 * 3^0, 3 = 2^0*3^1, 6 = 2^1*3^1
合=(2^0 + 2^1)(3^0+3^1) = 2^0 * 3^0 + 2^1 * 3^0 + 2^0*3^1+ 2^1*3^1

展開時可見為因數合.

2006-06-26 06:07:15 補充：
我已經導出來了, 仔細研究!

Answer 2

已經忘記多久以前算過這個題目了...
如果沒記錯的話，好像是5年前吧?
現在這種題目如果考出來...
大概都已經是12位數以上了吧?

Answer 3

這種題目應該是傳說中的小學題目吧！

國中生就都會了...

Answer 4

第一題有更快的解法喔
1.
23ab421是99的倍數
因此
2 + (30 + a) + (10b + 4) + 21 為99的倍數
也就是
10 * (5 + b) + (7 + a) 為99的倍數
因 5 + b + 1 <= 15 < 19
故 10 * (5 + b) + (7 + a) < 198
所以
10 * (5 + b) + (7 + a) = 99
因此 b = 4 , a = 2

這真的有可能是數奧的題目
只是是超級久以前的了

記得第一屆數奧有一題是
證明 (14n + 3) / (21n + 4) 不可化簡...

Answer 5

是Gauss幫他老爸算帳時的奧林匹亞吧！不知那個時候Gauss的同胞Beethoven的老爸還逼不逼他半夜起來練琴？
這兩個德國佬都因為他們的兒子而出名起來，真好運！

2006-06-24 05:28:34 補充：
天下掉下來的笨蛋用的方法是
若a0+10^2*a1+10^4*a2+10^6*a3+....+10^(2n)*an是99的倍數，則a0+a1+a2+....an也是99的倍數，
因此a+10b+57是99的倍數，
則a+10b+57=99(因為0以下或198以上都不可能)，
a+10b=42，則唯一符合的只有a=2,b=4

2006-06-24 05:36:32 補充：
還有他補充的那題，用輾轉相除即可，
(21n+4,14n+3)=(14n+3,7n+1)=(1,1)=1互質，所以不可再化簡了。

現在的小孩子越來越聰明了，像這種題目只能出現在國一資優班入學考試，不可能再出現於數奧了。
至於我，年紀已經超過國一新生的2倍了，所以解得出來也不算資優了。

Answer 6

奧林匹亞考這個？

不會吧．．

2006-06-23 09:27:31 補充：
是國內補習班之類的那種Olympia

還是IMO???

Answer 7

那些公式如果學過組合總數的話
就很好推導