喵貓數學大會考9:小學~高中,加法,乘法,直角座標平面等

Question

大家好！我是綜合喵貓！好久不見的喵貓大會考開始＊＊＊1.(小學) 有一個22位數abcdefghijklmnopqrstu7 乘以7之後很有趣,末位的7跑到了首位去變成了7abcdefghijklmnopqrstu (相同字母代表相同數字)求原本這個22位數是多少? (10分)2.(小學)第一小題: 10隻喵貓10分鐘能包10個水餃,15隻喵貓10分鐘能包幾個水餃? (5分)第二小題:10隻喵貓抓100隻老鼠要10分鐘,20隻喵貓抓50隻老鼠要幾分鐘?(5分)第三小題:10隻喵貓從A走到B要10分鐘,20隻喵貓從A走到B要幾分鐘?(5分)*此題所有喵貓的工作效率,速度等都假設為相同定值,請勿鑽牛角尖*3. 有一直線方程式通過(4,3)和(a,2)兩點 其中a為方程式x2-x-2=0的正根,則---第一小題: 求此直線方程式? (5分) (國中) 第二小題: 求X軸與Y軸的交點座標? (5分) (國中) 第三小題: 若還有一二次函數y=x2+3x+2,求其與原題直線的交點(7分) (國中) 第四小題: 承上題,求此二次函數和原題直線所圍成的區域面積?(7分) (高中)4.求此方程組的所有解 4x2/(1+4x2)=y .............(1)                            4y2/(1+4y2)=z .............(2)                            4z2/(1+4z2)=x .............(3)(15分)(國中)5.x是實數,求(x2-2x+2)1/2+(x2-10x+34)1/2的最小值(11分)(國中)6.正數x,y,z滿足xyz(x+y+z)=n , 求(x+y)(x+z)的最小值(以n表示)(15分)(高中)7.若干人聚會,其中某些人彼此認識且:(1)若有兩人認識的人數相等,則這兩人沒有共同的熟人 (2)有人至少認識64個人求證:聚會者中必有人恰認識64個人.(10分)(高中)

4.求此方程組的所有解

請修改為求此方程組的所有實數解

2.第三小題.當然是一起走

Answer 1

1.
慢慢除
7abcdefghijklmnopqrstu / 7 = abcdefghijklmnopqrstu7
明顯商的第一位是 1 , 所以 a = 1
變成71bcdefghhijklmnopqrstu / 7
明顯商的第二位是 0 , 所以 b = 0
這樣做下去
得到原數為1014492753623188405797

2.
(1)
10隻喵貓10分做10個水餃
1隻喵貓10分做1個水餃
15隻喵貓10分做15個水餃
(2)
10隻喵貓抓100隻老鼠10分鐘
1隻喵貓抓10隻老鼠10分鐘
1隻喵貓抓1隻老鼠1分鐘
20隻喵貓抓20隻老鼠1分鐘
20隻喵貓抓50隻老鼠2.5分鐘
(3)
10隻喵貓從A走到B要10分鐘
1隻喵貓從A走到B要10分鐘
20隻喵貓從A走到B要10分鐘

3.
(1)
x^2 - x - 2 = 0的正根是2
通過(4 , 3)和(2 , 2)兩點的直線方程式
y - 2 = ((3 - 2) / (4 - 2))(x - 2)
y - 2 = x / 2 - 1
(2)
X軸交點(y = 0)
0 - 2 = x / 2 - 1 ----------> x = -2 , 交點(-2 , 0)
Y軸交點(x = 0)
y - 2 = 0 / 2 - 1 ----------> y = 1 , 交點(0 , 1)
(3)
y = x^2 + 3x + 2
y = x / 2 + 1
相減得
0 = x^2 + 5x / 2 + 1
0 = 2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
交點x座標 -1 / 2 和 -2
交點(-1 / 2 , 3 / 4) (-2 , 0)
(4)
將相減得到的方程式積分得到
x^3 / 3 + 5x^2 / 4 + x + C
由於右端點x座標 -1 / 2 , 左端點x座標 -2
所以面積
│(-1 / 2)^3 / 3 + 5*(-1 / 2)^2 / 4 + (-1 / 2) - ((-2)^3 / 3 + 5*(-2)^2 / 4 + (-2))│
=│-1 / 24 + 5 / 16 + (-1 / 2) - (-8 / 3 + 5 + (-2)) │
=│- 11 / 48 - 1 / 3│= │- 27 / 48│= 27 / 48

4.
若 y > x
z = 1 - 1 / (1 + 4y^2) > 1 - 1 / (1 + 4x^2) = y
x = 1 - 1 / (1 + 4z^2) > 1 - 1 / (1 + 4y^2) = z > y > x , 矛盾
若 y < x
z = 1 - 1 / (1 + 4y^2) < 1 - 1 / (1 + 4x^2) = y
x = 1 - 1 / (1 + 4z^2) < 1 - 1 / (1 + 4y^2) = z < y < x , 矛盾
所以 x = y = z
4x^2 = x(1 + 4x^2) = x + 4x^3
4x^3 - 4x^2 + x = x*(2x - 1)^2 = 0
(x , y , z) = (0 , 0 , 0) or (1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2)

5.
x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + (-1)^2
x^2 - 10x + 34 = (x - 5)^2 + 3^2
原式的幾何意義為:
在直線 y = 0 上找一點P , 使P到(1 , -1)和(5 , 3)的距離最短
畫圖後易見最短距離為√((5 - 1)^2 + (3 - (-1))^2) = √32 = 4√2

6.
(x + y)(x + z) = x^2 + xy + xz + yz = x(x + y + z) + yz >= 2√(x(x + y + z)yz) = 2√n

7.
若命題不成立
假設認識最多人的人(稱為A)認識 n個人 , n > 64
如果這 n個人中有兩個認識的人數相等
但他們都認識A這個人
與條件(1)矛盾
故這 n個人認識的人數都不相等
又因為他們都認識A這個人
所以認識的人數至少為1
如果他們中沒有人認識64人的話
則這 n個人中認識最多人的人至少認識 n + 1個人
這與 n的最大性矛盾
因此有人恰好認識64人一定是對的

2006-06-21 17:41:11 補充：
第七題
如果聚會的人無窮多的話
認識最多人的人認識的人數就不會有上界
另外可以簡單的構造出一個有無窮多人的聚會
每個人認識的人數都不是64
且認識相同人數的人沒有共同的熟人

2006-06-21 17:48:50 補充：
第五題的推廣是問
((x1-a1)^2 + (x2-a2)^2 + ... +(xn-an)^2 + a^2)^0.5 + ((x1-b1)^2 + (x2-b2)^2 + ... +(xn-bn)^2 + b^2)^0.5的最小值
方法是一樣的
等價於在n+1維空間中問兩點間的最短距離
要注意的是a跟b必須正負號相反
也就是ab < 0

Answer 2

第3題
(1)先利用方程式x2-x-2=0求出a值=2
則此方程式會通過(4,3)(2,2)設 y=Ax+B將此兩點代入解連立A=1/2 B=1則此方程式為y=1/2 X+1
(2)與X軸的交點令 y=0帶入方程式得 x=-2 交點為(-2,0)
與Y軸的交點則令x=0帶入方程式得 y=1交點為(0,1)
(目前只算到這裡~~)

2006-06-21 15:50:55 補充：
第2題(1)15個(一隻貓平均1分鐘可以包0.1個水餃現在有15隻貓0.1 X 15 X 10=15)(2)2.5分鐘(10隻貓100隻老鼠10分鐘那麼20隻貓200百隻10分鐘 200隻/4=50隻 所以10分/4=2.5分)(3)請問一次10之一起走還是一隻接著一隻走