用國一的想法解這個數學題目

Question

這是一個國一資優數學題:
求(a+b)^200的第198項係數是多少?

Answer 1

答：1313400

這個問題最難的是：究竟現在的國一生，學到了什麼？

要解這題很明顯的要用到巴斯卡三角形（我很想說楊輝三角形，因為他比較早）：

　　　　１
　　　１　１
　　１　２　１
　１　３　３　１
１　４　６　４　１
……

每一個數字是左上和右上的總合。

接著，我們知道(a+b)^200一共有201項，題目要求算198項係數，也就是倒數第4項（或是第4項）。也就是說，它位於巴斯卡三角形中，第201層（如果頂點也算一層）與第4條「斜線」的交叉位置。

第4條斜線的數列如下：

1，4，10，20，35……

因此，我們只要能表示在n項時，這個數列的數字是多少後，此題便得解。

這個數列的彼此的差是：

3，6，10，15……

也就是（1＋2），（1＋2＋3），（1＋2＋3＋4）……的數列。它的算法就是大家很熟悉的梯形公式：x(x＋1) / 2

1，4，10，20，35…是上述數列的再總合，也就是說，它的第n項會等於：

Σx(x+1) / 2，（x＝1 to n）
＝(1/2) [ Σx^2 + Σx]
＝(1/2) [n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2]
＝n(n+1)(n+2)/6

這個算出之後，直接把200代入就行了嗎？不，因為當初我們是取第4條斜線，而此斜線的頂端是3排，也就是(a+b)^3的係數，因此要算第200排時，要代入200-2=198這個數字。

所以答案是：

198*199*200/6
＝1313400

註：198*199*200/6
＝33*(200-1)*200
＝(6600-33)*200
＝6567*200
＝1313400

如果國一沒學過Σ的基本律，以及Σn^2的公式，那我就沒轍了@@"

Answer 2

排列組合-高中,國中課外
Σ的基本律，以及Σn^2的公式-高中,國中課外
巴斯卡三角形-高中,國中課外

國一的話,好像只能用梯形面積算法慢慢推。

最好算的，也最容易的應該是combination公式。

Answer 3

先介紹公式
(1) n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × ...... × (n-1) × n (n 個連續數字的乘積)
( a + b )^k = S1 + S2 + S3 + ..... + Sk-1 + Sk + S(k+1) 共有 k+1 項
S1 = a^k × b^0
S(k+1) = a^0 × b^(k+1)

2006-06-21 20:01:14 補充：
S1--> 第一項, S2--> 第二項, ... , Sk--> 第 k 項, S(k+1) --> 最後一項！Sn --> 第 n 項, n=1,2,3,4, .... , k, k+1Sn = k! / n! / (k-n+1)! × a^(k-n+1) × b^(n-1)

Answer 4

1313400a^197*b^3
國一？我無法解釋，太難的任務。

2006-06-21 10:33:15 補充：
回答者好像真的錯了ㄝ
不是等差啦！
是C(combination)。

2006-06-21 15:30:50 補充：
C(200,3)a3b197=1313400a3b197 國一？我無法解釋，太難的任務。 如果是第1項、第2項、第200項或第201項還可以解釋，第198項實在沒辦法，排列組合的公式要一步一步來。總之答案就是這樣。

2006-06-21 15:32:28 補充：
喵貓：
用combination沒錯呀！？
還是你想說a,b指數顛倒了？
這個沒差吧！？
誰規定a^200是第一項的？

Answer 5

喵？

Answer 6

樓上貓ㄉ花,若將a,b當未知數就有項喔!
還有這題目要用巴斯卡定理,二項式定理, 搞什麼, 為什麼國一就要搞這些, 真可憐的小朋友.

Answer 7

(a+b)^1其係數為 1 1
(a+b)^2其係數為 1 2 1
(a+b)^3其係數為 1 3 3 1
依此類推(此一三角型陣列有個名稱但我忘囉...)
而第198項係數會與第3項係數相同(故求第三項係數即可)
則由1次方開始類推其第3項係數分別為0..1..3..6..10..15.........至第200項(視為S200)
此一數類可發現之間間距分別為1..2..3..4..5......至第199項=199(視為A199)成等差數列
由此類推可得S3=A1+A2....S4=A1+A2+A3...S5=A1+A2+A3+A4...
表S200=A1+A2+.......+A199
利用等差級數和之公式(國一的觀念應是利用梯形面積公式=(上底+下底)*高/2)
則S200=(1+199)*199/2=1990即為第3項與第198項係數
如有錯誤...還請指教...

Answer 8

題目如果是(a+b)
沒有所謂的第幾式吧?
應該要(a+bx)才有可能有第198項?

Answer 9

這用國一的東西不太可能解釋吧
要學過排列組合才好解釋
國中資優班的題目，很多都是拿國二國三甚至是高中的東西在出吧