好難的數學問題C*&sin×cos的 ~高手幫解

Question

1. 設方程式 ( | x| - 1 )^2 + ( | y| - 1 )^2 = 4在座標平面上的圖形為C* （15％）
(a) 求C*的周長
(b) 求C*所圍成區域的面積

2.令 n 為大於 2的自然數，0度≦ x ≦ 90度 , i = 1 ,2 ,3,……,n度
證明：sinX1*cosX2 + sinX2*cosX3 + …… + sinXn*cosX1 ≦ n/2

圓心A(1,1)，為什麼會交x軸於B(√3,0)，交y軸於C(0,√3)呢?
B.C點怎麼來的?

Answer 1

1.
分別用(x,y)，(x,-y)，(-x,y)代入方程式不變
所以圖形對稱x軸、y軸
先畫第一象限的圖，再分別對x軸、y軸作對稱圖形
x>0，y>0
(x-1)^2+(y-1)^2=4
(a)
圖形在第一象限區域
圓心A(1,1)，交x軸於B(√3,0)，交y軸於C(0,√3)
連接AB,AC，∠BAC=150度
周長=(150/360)*(2*2*π)=5π/3
總周長=4*(5π/3) = 20π/3
(b)
在第一象限面積
=(一個正方形)＋(二個三角形)+(5/12個圓)
=1*1 + 2*(1/2)*1*√3 + (5/12)*(2*2*π)
=2+√3+(5/3)π
總面積=8+4√3+(20/3)π

2.
sinxi，cosxi皆大於等於0
由算幾不等式
(sinx1 + cosx2) ≧ 2√(sinx1*cosx2)
=> (sinx1 + cosx2)^2 ≧ 4 sinx1*cosx2
=> sinx1*cosx2 ≦ (1/2)*[ (sinx1)^2 + (cosx2)^2 ]

可推得
sinx1*cosx2 + sinx2*cosx3 + …… + sinxn*cosx1
≦ (1/2)*[ (sinx1)^2 + (cosx2)^2 + (sinx2)^2 + (cosx3)^2 +...+ (sinxn)^2 + (cosx1)^2]
= n/2
證畢

2006-06-25 19:07:37 補充：
sorry!B(1+√3,0)C(0,1+√3)

Answer 2

麻煩澄清第二題題義