幫解數學甄選考試題*3

Question

(1) 根號 ( n+1 ) - 根號 n < 0.025 , n為正整數。
求最小的 n值 = ?

我的算法是令 根號 ( n+1 ) - 根號 n = 0.025，
解得 n 約為 400。有其他的算法嗎？

(2) a , 1 , b 是一個公比>1的等比數列，a , 1 , b - 1 是一個等差數列。
求 b = ?

(3) 一元二次方程式 x^2 + ax + b = 0，x的解是 c or d，
一元二次方程式 x^2 + cx + d = 0，x的解是 a or b。
求 a+b+c+d = ?

這是要甄選高中的喔！

Answer 1

(1)√(n+1) - √n < 0.025
兩邊同乘 [√(n+1) + √n]
1 < 0.025*[√(n+1) + √n]
[√(n+1) + √n] > 1/0.025 = 40
所以取....20 + 20.XXXXXX > 40
得 √n = 20 → n = 400

(2) a,1,b 為等比 → a*b = 1^2
a,1,(b-1) 為等差 → a + (b-1) = 2*1 → a + b = 3
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
3^2 = (3-b)^2 + b^2 + 2*1
→ b^2 - 3b + 1 = 0 → b = (3+√5) / 2 ................負不合

(3)由題意.....
(一)
c^2 + ac + b = 0
a^2 + ac + d = 0
+)------------------------
a^2 + c^2 + 2ac + (b+d) = 0
(b+d) = -(a+c)^2

(二) "根與係數"關係...
c + d = -a
a + b = -c

(三)
a+b+c+d = a + c + (b+d) = a + c - (a+c)^2 .......由(一)
a+b+c+d = (a+b) + (c+d) = (-c) + (-a) = -(a+c) .........由(二)
由以上
a + c - (a+c)^2 = -(a+c)
→ (a+c)*[ 2 - (a+c) ] = 0
得 (a+c) = 0 或 2
所以 a+b+c+d = -(a+c) = 0 或 -2

2006-06-19 16:03:14 補充：
給樓上.....第二題....因為公比大於 1 ...所以 (3-√5) / 2 是不合的第三題的部份..... 你寫的 "cd = d 所以 c = 1"是不合理的，因為你算出來的 d 等於 0 .....如此這般，c 應為任異數..

Answer 2

春野サクラ加油！只要妳肯努力就一定辦的到，祝妳好運！^_^

Answer 3

嘗試用簡明易懂的方法
(1)左邊上下同乘以根號(n+1)+根號n
得到40<根號(n+1)+根號n
由於根號(n+1)接近根號n
所以根號(n+1)跟根號n會接近20
<其實好像差沒多少....=.="">
(2)因為a,1,b是等比數列
所以b=1/a
代入a,1,b-1是等差數列
所以a+1/a=3
所以a^2-3a+1
代入公式解(3+-根號5)/2
因為3-根號5<1
所以a=(3+根號5)/2
(3)
使用根與係數的關係
c+d=-a c*d=b
a+b=-c a*b=d
a+b+c+d=-a-c=-a-b-c-d+c*d+a*b
因為a*c*d=d <把a*b 換成a*c*d>
所以a*c=1
因為c+d=-a 所以a=-c-d
然後再代入a+b=-c得到-c-d+b=-c
得到b=d再代入a*b=d
得到a=1 又a*c=1 所以c=1
用a=1 c=1代入c+d=-a 得到d=-2 又b=d 所以b也等於-2
所以a+b+c+d=-2

Answer 4

(1)根號 ( n+1 ) - 根號 n < 0.025 =1/40
兩邊同乘: 根號 ( n+1 ) + 根號 n ==>
1<(1/40)(根號 ( n+1 ) +根號 n)
得: 根號 ( n+1 ) +根號 n > 40
代入n=(40/2)^2=400

2006-06-19 15:37:44 補充：
(2) a , 1 , b 等比==>ab=1;a , 1 , b - 1 等差==>2=a+b-1得a+b=3,將a=1/b代入左式得 b^2-3b+1=0b=(3+根號5)/2 或 (3-根號5)/2(3)利用根與係數: c+d=-a, cd=b;a+b=-c,ab=-d得a+c=-d=-b ==> b=d 代回:cd=b=d得c=1, 代回:ab=-d=-b 得a=-11+b=-a=1得b=d=0==>a+b+c+d=-1+0+1+0=0