一題關於三位數abc的問題

Question

請高手幫幫忙
三位數abc(a為百位數,b為十位數,c為個位數)
符合abc=a^2+1+(bc)^2(bc為b為十位數,c為個位數的兩位數字)
請求此三位數,
P.S我是先將bc設成A,變為100a+A=a^2+1+A^2,但就不知如何解了,雖然也用程式跑出答案,但我要知道作法.(此方程式似乎是圓形的,但如果可以請盡量用簡單的方法,我才國中,如果困難的方法能解也很歡迎.)

Answer 1

我是這樣想同您的假設：bc = A...為一二位數；但是必須注意到一點：a 可能為 1~9=> 100a + A = a2 + 1 + A2=> 100a - a2 = A2 - A + 1 => a(100 - a) = A2 - A + 11. a = 1 => A2 - A + 1 = 99 =>A2 - A - 98 = 0.....無法找出一二位數2. a = 2 => A2 - A + 1 = 196 =>A2 - A - 195 = 0.....無法找出一二位數3. a = 3 => A2 - A + 1 = 291 =>A2 - A - 290 = 0.....無法找出一二位數4. a = 4 => A2 - A + 1 = 384 =>A2 - A - 383 = 0.....無法找出一二位數5. a = 5 => A2 - A + 1 = 475 =>A2 - A - 474 = 0.....無法找出一二位數6. a = 6 => A2 - A + 1 = 564 =>A2 - A - 563 = 0.....無法找出一二位數7. a = 7 => A2 - A + 1 = 651 =>A2 - A - 650 = 0 => (A + 25)(A - 26) = 0 　=>A = 26 or -25(不合)8. a = 8 => A2 - A + 1 = 736 =>A2 - A - 735 = 0.....無法找出一二位數9. a = 9 => A2 - A + 1 = 819 =>A2 - A - 818 = 0.....無法找出一二位數∴ 由第7個之 a = 7 ；A = bc = 26∴abc = 726

Answer 2

...我也用帶入法找過，我是用
A^2－A－（100a＋a^2＋１）代乘法公式看根號內是否為整數。

2006-06-20 23:07:13 補充：
不過這樣似乎就失去解它的意義了呢．．．

2006-06-20 23:09:06 補充：
問popo大大，
2a-100)^2+(20b+2c-1)^2=9997如何變成2a-100=-86 , 20b+2c-1=51?

Answer 3

100a+10b+c=a2+1+(10b+c)2==>(a-50)2+(10b+c-(1/2))2=2499+(1/4)==>4(a-50)2+4(10b+c-(1/2))2=9997==>(2a-100)2+(20b+2c-1)2=9997==> 2a-100=-86 , 20b+2c-1=51==>a=7 ,10b+c=26==>a=7,b=2,c=6==>三位數為726

Answer 4

使用代入法
因為a,b,c都是1~10內的正整數(b,c可為0)
先用a=1代入A^2-A+1+a^2-100a的話
A^2-A-98=0
沒有整數解
a=2代入
A^2-A-195=0
沒有整數解
a=3代入
A^2-A-292=0
沒有整數解
a=4代入
A^2-A-383=0
沒有整數解
a=5代入
A^2-A-474=0
沒有整數解
a=6代入
A^2-A-563=0
沒有整數解
a=7代入
A^2-A-650=0
(A-26)(A+25)=0
A=26 有解
a=8代入
A^2-A-731=0
沒有整數解
a=9代入
A^2-A-818=0
沒有整數解

這是正常國中生會用的方法(假裝我還是國中生)
得到一組解abc這個數字是726