皮卡丘 與 喵猫 對賭

Question

皮卡丘 與 喵猫 對賭

假設有ｎ把外觀相同的鑰匙 (n>=3) 分別可以打開 不同的 n 扇門
喵猫 隨機 排列所有 鑰匙去對應開啟這不同的 n 扇門.
(1) 如果共開啟了 k 扇門, 皮卡丘 就要賠 喵猫 k 個金幣.
請問 皮卡丘 要先跟 喵猫 收幾個金幣, 才是公平的賭局?
(2) 如果共開啟了 k 扇門, 皮卡丘 就要賠 喵猫 k^3 個金幣.
請問 皮卡丘 要先跟 喵猫 收幾個金幣, 才是公平的賭局?

Answer 1

很明顯
這題主要在探討期望值
假如n=3的話
鑰匙排列的總數是3!=6種
其中都不能開的有2種
只能開一扇的有3種
三扇全開的有1種
能開啟的門k的期望值是1 K^3的期望值是5
假如n=4的話
鑰匙排列的總數是4!=24種
其中都不能開的就是1號不能對1門 2號不能對2門 3號不能對3門 4號不能對4門
就是4!-4*3!+6*2!-4*1!+0!=9種 註....0!=1
只能開一扇的有8種 8
開2扇的有6種 48
全開的有1種 64
期望值為24/24=1 k^3的期望值是5
假如有5把鑰匙總共的排列數=5!=120種
開1扇的是c(5,1)*4個的錯排數9=45種 *1
開2扇的是c(5,2)*3個的錯排數2=20種 *2
開3扇的是c(5,3)*2個的錯排數1=10種 *3
全開的是1種*5
開的門的期望值=1
假如有n個鑰匙
總共有n!種排列
通通都不能開的有的有n!-n-1!*a+n-2!*b-n-3!*c.......-3!*c+2!*b-1!*a+0!種
只能開1扇的有n-1!-n-2!*(a-1)+n-3!*(b-a)+........+3!*(b-a)+2!*(a-1)+1!
只能開2扇的有....

詳細證明太麻煩 略
直接用推論的
請勿抄襲
推論能開的門的期望值是1 k^3的期望值是5
開始答題
(1)因為開啟門的期望值是1
所以皮卡丘預計要陪給喵喵1個金幣
所以要先收1個金幣
(2)因為k^3的期望值是5
所以要先收5個金幣


另外...k^2應該是=2

2006-06-19 22:59:34 補充：
我不太確定
但是我算到k^4時有出現很怪的事情
k^4的期望值好像變得不固定??
我算到14 or 15
假如是14的話就很合理
k^1=1
k^2=2
k^3=5
k^4=14
如果是這樣的話
就很合理(我想的)
因為
k^2=3k^1-1
k^3=3k^2-1
k^4=3k^3-1

這些都只是猜測...
應該是錯的...

2006-07-04 22:13:56 補充：
原來如此....真是多謝了
讓我又多知道一點東西

Answer 2

很高興 光照四界 能幫皮卡丘和喵喵的忙. 如果還能算變異數(<---提示喔)就太棒了.

2006-06-20 11:49:31 補充：
B(0)=1
B(1)=1
B(2)=B(0)*C(1,0)+B(1)*C(1,1)=2
B(3)=B(0)*1+B(1)*2+B(2)*1=5
B(4)=B(0)*1+B(1)*3+B(2)*3+B(3)=15
B(5)=B(0)*1+B(1)*4+B(2)*4+B(3)*4+B(4)*1=52
...

B(n) 稱為 Bell number, 你可以查ㄧ查.

2006-06-22 20:01:59 補充：
算k^4時, 要n>=4, 期望值才會固定是15

2009-06-04 14:07:33 補充：
B(5)=B(0)*1+B(1)*4+B(2)*6+B(3)*4+B(4)*1=52