代數問題( 很眼熟但....)

Question

x+4y+9z=1 且 x,y,z >0 試求x^3+y^3+z^3 的最大值與最小值

ㄎㄎ 感覺很熟悉的題目 但是 偶不會

感謝給予意見捏
數學方法很多 真是印證了學海無涯
不介意的話 也請各位寫寫算式唄

to chuchu
你用了兩次科西真是不簡單捏
感謝你 ^_^

也謝謝大家給ㄉ意見捏
或許這題沒解完整 可以產生不同思考
是很棒ㄉ喔

Answer 1

肯定有最小值1/1296

最大值可能發生在邊界
但x,y,z又不為0，殘念!

2006-06-19 08:50:23 補充：
最小值求法
使用兩次柯西不等式
(x^3+y^3+y^3)(x+4y+9z)≧(x^2+2y^2+3z^2)^2
=> x^3+y^3+z^3≧(x^2+2y^2+3z^2)^2

(x^2+2y^2+3z^2)(1+8+27)≧(x+4y+9z)^2
=> x^2+2y^2+3z^2≧1/36

所以 x^3+y^3+z^3≧1/1296
兩式等號皆成立於(x/1)=(y/2)=(z/3)
即x=1/36，8/36，27/36
x^3+y^3+z^3有最小值1/1296

若有人算出最大值，請把點數給他~~~

2006-06-19 11:24:39 補充：
更正，取x=1/36，y=2/36，z=3/36x^3+y^3+z^3有最小值1/1296

Answer 2

璇兒算錯了，"&=1/432"。
176又1/3，太大了。

Answer 3

如果沒錯的話
lagrange乘數法：
F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3
G(x,y,z)=x+4y+9z-1
Fx=&Gx (3x^2=&)
Fy=&Gy (3y^2=&4)
Fz=&Gz (3z^2=&9)
&是一個數字，算出來已後，代入x,y,z。
如果沒錯的話
&=176又1/3

Answer 4

高中作法應該是柯西不等式跟算幾不等式吧?

Answer 5

有沒有學過langeage乘數法?