微積分極限問題

Question

lim(x->0)1/|x|=?
當x->0-,lim(x->0-)1/|x|=lim(x->0-)-1/x=-∞
當x->0+,lim(x->0+)1/|x|=lim(x->0+)1/x=+∞左右極限不存在

但 lim(X->0-)1/|x| = lim(x->0-)-1/x = +∞
lim(x->0+)1/|x| = lim(x->0+)1/x = +∞
我要問上面的解法寫錯了吧,應該是下面的才對
上面的解法是網友(豪哥)的回答

猜謎人的回答有夠扯,不予置評!

Answer 1

極限值要"存在"，意味著要能指出，"極限值是多少"。
誰都說不出來 lim(x->0+)1/|x| 等於多少。
你給我任何一個 x ≠0，求出逼近的極限值，
我都可以再找到另一個 x ≠ 0，比你的極限值還要大，
而且也不知道它將大到哪裡去。

這麼說應該還是不足說服人，
那麼我們就來證明 lim(x->0+)1/|x| 不存在。
(即使它從左逼近、右逼近，極限仍不存在)。

命題： lim(x->0)1/|x| 的極限值不存在
證明：
假設 lim(x->0)1/|x| 存在，且 lim(x->0)1/|x| = L，L為定義在實數域內之某一數。
根據"極限性質定理"(請參閱各微積分書，極限值存在滿足四則運算)
考慮 lim(x->0)1/|x| * lim(x->0)|x| = L * 0 = 0 -------------------------(1)
考慮 lim(x->0)1/|x| * lim(x->0)|x| = lim(x->0)[ 1/|x| * |x| ]
= lim(x->0) 1 = 1 ------------------------------------------------------(2)
因(1)式和(2)式互相矛盾，得知初始假設 lim(x->0)1/|x| 極限值存在是錯誤的。
故lim(x->0)1/|x| 極限值不存在。

如果還是不能說服你，那就再從數學家給極限下的定義出發，
來證明 lim(x->0+)1/|x| 不存在。
極限的定義：
Given any radiusε>0 about L, there exists a radius δ>0 about x0,
such that 0 < |x-x0| < δ implies | f(x)-L | < ε.
抱歉，我試著證過，但功力不夠，證不出來。

2006-06-18 16:57:30 補充：
"即使從左逼近+∞、右逼近+∞，極限仍不存在"

2006-06-19 07:33:59 補充：
謝謝你的補充，你應該直接回答的！^^

2006-06-19 21:54:55 補充：
是啊，是錯的。
畫個f(x)=1/|x|的圖就看得出來了。

Johnson一開始在另一發問的問題問：
「lim(x->0-)1/|x|=lim(x->0-)-1/x=+∞；lim(x->0+)1/|x|=lim(x->0+)-1/x=+∞」，為什麼不說lim(x->0)1/|x|=+∞極限值存在？

證明是為了讓他相信極限值不存在。

2006-06-19 22:00:12 補充：
Johnson的另一個提問
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306061714281

我承認啦，我的回答和提問的問題有所相違，是在賺點數。

Answer 2

問題的重點可能並不是在極限不存在,而是
「當x->0-,lim(x->0-)1/|x|=lim(x->0-)-1/x=-∞」
這個式子是錯的.

2006-06-19 23:23:56 補充：
喔~!原來是另一題的關係.

Answer 3

極限的定義出發的證明
Let f(x) = 1/|x|
Suppose L exist, because f(x) > 0 is always true, L >=0.
Given a positive number ε0, there exists a positive number δ>0, such that |x-x0| < δ implies | f(x)-L | < ε. The last one means f(x) < L + ε.

2006-06-19 00:13:51 補充：
But we can always find a positive number 1 / (L + ε), such that for any x < 1 / (L + ε), f(x) > (L + ε). Therefore, we can take δ0 = min{δ,1 / (L + ε)}, then ε > | f(x)-L | > ε is always true for |x-x0| < δ0 <= δ. So L can not exist.

Answer 4

關於這兩個解法, 下面的才對
也就是左右極限都跑到無窮大, 不過無窮大畢竟只是一個表徵
也就是一個非常非常大的一個"數"(其實它是不包含在實數域裡的)
所以基本上這題最後的答案應該為
極限趨近於無窮大, 不過極限是不存在的!!
關於這點 可以看一下極限的定義中的L(極限值)
它必須是一個實數值
而如果還是覺得很奇怪, 可以把函數的圖形畫出來
很容易就可以觀察出x在0這點附近的一個函數值變化了

Answer 5

當f﹙x﹚=1/|x|
在0那一點集線是存在的！豪哥做的才對！不過，這一式
lim(X->0-)1/|x| = lim(x->0-)-1/x = +∞
要改成
lim(X<0-)1/|x| = lim(x<0-)-1/x = +∞
如此左極限等於右極限
所以極限是存在的
只是該點0是個尖點
所以不可微分