尋找質數的機智問題

Question

若n為正整數，且n-10,n-6,n-2,n+4,n+16都是質數，請問n是多少？請列出n的所有可能解。

Answer 1

題目等同求p，p+4，p+8，p+14，p+26都是質數的所有p值

(1)p=2，p+4=6不為質數
(2)p=3，則3，7，11，17，29皆為質數
(3)p＞3
(i)若p=3m，m≧2，則p不為質數
(ii)若p=3m+1，則p+8=3m+9=3(m+3)不為質數
(iii)若p=3m+2，則p+4=3m+6=3(m+2)不為質數

由(1)(2)(3)之窮舉得p=3是唯一解，即n=13

Answer 2

先觀察6m+1、6m+2、6m+3、6m+4、6m+5、6m+6（m為正整數），此六個連續整數中6m+2、6m+4、6m+6為偶數，不為質數，6m+3、6m+6為3的倍數，也不為質數。故有可能出現質數的必為6m+1、6m+5兩種，因此連續質數相差必為4、2、4、2、4、2、...，不可能出現連續三個質數呈4的等差關係。
又題目所列前三項，是呈4的等差關係。所以當m為正整數時，無符合題目的正整數解n。故只有3、7、11、17、29這數列符合，===>n=13 。