一個連比的數學題目

Question

一個求連比的數學題目:
設 2〈X+Y〉= 3〈Y+Z〉= 4〈X+Z〉，且X.Y.Z皆不等於0，求連比 X:Y:Z=?
我要算式還有解答 順便說明也不錯
麻煩請數學高手解答>\"<

Answer 1

由2〈X+Y〉= 3〈Y+Z〉知2x-y=3z---(1)由3〈Y+Z〉= 4〈X+Z〉知3y-4x=z----(2)(2)式代入(1)式2x-y=9y-12x10y=14x5y=7x代入(2)式，z=y/7，x:y=5:7，y:z=7:1x:y:z=5:7:1

Answer 2

令 2〈X+Y〉= 3〈Y+Z〉= 4〈X+Z〉=12
〈X+Y〉= 6
〈Y+Z〉= 4
〈X+Z〉= 3
三式相加＝２（X+Y+Z）＝１３
X+Y+Z＝１３／２
因為。。。Z＝１／２
　　　　　Y＝７／２
　　　　　X＝５／２
　　所以　X：Y：Z＝５：７：１

2006-06-18 17:27:53 補充：
其實可以等於１２ｒ（　　2〈X+Y〉= 3〈Y+Z〉= 4〈X+Z〉=12　　）但是沒有未知數比較好算而且如果假設了還是會約分掉的

Answer 3

設2(X+Y)=3(Y+Z)=4(X+Z)=12R

X+Y=6R Y+Z=4R X+Z=3R

(X+Y)+(Y+Z)+(X+Z)=2X+2Y+2Z=13R

X+Y+Z=6.5R 所以6.5R-6R=Z=0.5R
6.5R-4R=X=2.5R 6.5R-3R=Y=3.5R
X:Y:Z=2.5R:3.5R:0.5R=>5:7:1

答案等於 5:7:1

Answer 4

進行三次的聯立式, 將題目兩兩配對,
2(X+Y) = 3(Y+Z) => 2X - Y -3Z = 0 ...1
3(Y+Z) = 4(X+Z) => 4X - 3Y + Z = 0 ...2
2(X+Y) = 4(X+Z) => X - Y + 2Z = 0 ...3

將第3式進行移項, 可知 X = Y - 2Z ...4

接著把第4式分別代入 1, 2 進行聯立, 可得下列聯立方程式:

2(Y-2Z) - Y - 3Z = 0
4(Y-2Z) - 3Y +Z = 0

整理移項, 可得
Y - 7Z = 0 ...5
Y - 5Z = 0 ...6

由第5, 第6 式可知, Y = 7Z 或 Y = 5Z
分別代入第1 或第2 式, 整理移項可知
X = 5Z (Y=7Z)
或 X = 3Z (Y=5Z)

因此 X:Y:Z = 5Z:7Z:Z = 5:7:1 ...7
或是 X:Y:Z = 3Z:5Z:Z = 3:5:1 ...8

將第7, 第8 式, 令 X=5, Y=7, Z=1 帶入題目,
與 X=3, Y=5, Z=1 帶入題目進行驗算,
可得
X=5, Y=7, Z=1 正確, 故

X:Y:Z = 5:7:1


得證

Answer 5

令2(X+Y)= 3(Y+Z)= 4(X+Z)=n
2X+2Y=n--->X+Y=n/2
3Y+3Z=n--->Y+Z=n/3
4X+4Z=n--->X+Z=n/4
X+Y+Z=(n/2+n/3+n/4)/2=13n/24
X=5n/24
Y=7n/24
Z=1n/24
X:Y:Z=5:7:1。