問幾題數學....教甄考題

Question

1.設a，b，c是正整數，且a+b+c是3的倍數，則當n為多少時，an+bn+cn亦是3的倍數?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 以上皆是
答案是D
這題我用a=1，b=2，c=3帶入，只有B是正確的啊...不懂啊

2. 已知正整數n減去48所得的差是一個整數的平方，當n加上41所得的和是另一個整數的平方，則n－48有幾個質因數？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
答案是C

3.下列何者正確？
(A) 3的倍數的正整數個數比6的倍數的正整數個數多
(B) 6的倍數的正整數個數比3的倍數的正整數個數多
(C) 正整數的個數比整數的個數多
(D) 以上皆非
答案是D，為什麼不是 A啊

4.設基隆市舉辦校際拔河比賽(共有n個學校)，每個學校均須與其他n－1個學校比賽一場，每局贏者得2分，輸者得0分，平手的兩個學校各得1分。今有三個同學統計了比賽中全部的得分數，分別是2001，2002，2003，則那一個分數是正確的？
(A) 2001 (B) 2002 (C) 2003 (D) 都不正確
答案是D
不是每一場比賽兩隊共拿到2分，所以只有偶數才是答案嗎？

第一題題目修正一下
1.設a，b，c是正整數，且a+b+c是3的倍數，則當n為多少時，a^n+b^n+c^n亦是3的倍數?
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 以上皆是
答案是D
這題我用a=1，b=2，c=3帶入，只有B是正確的啊...不懂啊

p.s 這是94年級基隆教師甄試的考古題

Answer 1

2.由題目知，這兩個整數平方相差89，而兩整數平方差(a+b)2-a2=2ab+b2=b(2a+b)而89是質數，只能分解為1*89，故b=1→a=44→n-48=442或b=89→a=-44→n-48=(-44)2所以是2個質因數，2和113.3的倍數和6的倍數都是無窮多，而且都可和正整數作一對一的對應，所以是一樣多，誰也沒比誰多，所以(A)、(B)皆錯正整數的個數比整數的個數「少」(整數還包括0和負數)，所以(C)也錯，以上皆非4.偶數只是必要條件而已，不是充分條件，共需比賽C(n,2)=[n(n-1)/2]場，每場都是得2分，共得n(n-1)分(連續兩整數乘積)，(A)(B)(C)都不是連續兩整數乘積，所以都不正確。第一題還要想一下.....

2006-06-16 23:12:22 補充：
"我的日子只有混"說得沒錯，正整數的個數和整數的個數一樣多，像這種無限的概念，是不能用有限的概念去思維的。你可以去看天下文化出的一本書(忘了書名)，裡面有一篇「無限旅館的無限房間」，說的就是類似觀念。

2006-06-16 23:37:26 補充：
某數被3除餘0→某數的任意整數次方被3除餘0某數被3除餘1→某數的任意整數次方被3除餘1某數被3除餘2→某數的奇數次方被3除餘2，某數的偶數次方被3除餘1所以第一題，a,b,c是(000),(111),(222)都對(都餘0)，但是(012)就不對了，如果n是偶數時，a^n+b^n+c^n除以3會餘2。答案是(B)才對。

2006-06-16 23:40:05 補充：
冷無心：
你還是算錯了。它是問你(n-48)的質因數，不是n的質因數ㄝ

Answer 2

第一題題目沒錯
我想第一題應該是這樣吧
因為a+b+c為3的倍數
所以
case1
a=3k1 b=3k2 c=3k3
則a^n+b^n+c^n顯然是3的倍數
case2
a=3k1+1,b=3k2+1,c=3k3+1
則a^n+b^n+c^n
=(3k1+1)^n+(3k2+1)^n+(3k3+1)^n (*)
(*)可用二項式定理看出

2006-06-24 15:22:17 補充：
=C(n,n)*(3k1)^n*1^0+.......+C(n,0)*(3k1)^0*1^n+C(n,n)*(3k2)^n*1^0+....+C(n,0)*(3k2)^0*1^n+C(n,n)*(3k3)^n*1^0+....+C(n,o)*(3k3)^0*1^n

2006-06-24 15:22:37 補充：
由上式可知 只要含3k1,3k2,3k3
一定可被3整除
故餘數只需考慮C(n,0)*(3k1)^0*
1^n+C(n,0)*(3k2)^0*1^n+C(n,o)*(3k3)^0*1^n=1+1+1=3亦可整除3
故a^n+b^n+c^n是3的倍數

2006-06-24 15:22:50 補充：
case3 a=3k1+2,b=3k2+2,c=3k3+2
case4 a=3k1,b=3k2+1,c=3k3+2
證法一樣 原po可以證證看!
註:k1,k2,k3的條件限制請自行判斷

Answer 3

有限可數才有個數，有個數才能比較個數。否則是無法比較。所以是以上皆非。

Answer 4

正整數 N：1,2,3,4,.........
整數 Z：0,±1,±2,±3,±4,...

當Z=0時，取N=1
當Z>0時，取N=2Z+1
當Z<0時，取N=-2Z
以此取法，正整數N和整數Z可為一對一對應，是故正整數和整數一樣多。

Answer 5

TO老王,第一題有說三數都為"正整數"喔,所以不用考慮0的情況了

2006-06-16 15:50:16 補充：
第一題題目確定沒打錯了嗎?不管用1,2,3或2,4,6等n倍的(1+2+3)代入a,b,c都使得答案不為D呀...

Answer 6

我覺得第一題的「限制」可能被漏掉了。EX：a.b.c三數不為3的倍數

2006-06-16 13:41:46 補充：
老王：正整數和整數一樣多的意思，是因為兩者都是無窮大嗎？

Answer 7

第一題題目修正一下
1.設a，b，c是正整數，且a+b+c是3的倍數，則當n為多少時，a^n+b^n+c^n亦是3的倍數?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 以上皆是
答案是D

Answer 8

解法
1. an+bn+cn=n*(a+b+c)
因為 a+b+c 為3的倍數 所以 不論 n 何數 答案皆為3的倍數
2. 設 n- 48=x的平方------A
n+41=y的平方-----B
將B- A得 y的平方減去x的平方等於89
化成(y-x)(y+x)=89 =1*89
y-x=1
y+x=89
得y=45 x=44
n－48=x的平方=44*44=2*2*2*2*11*11
其質因數為 2與11------共有2個
3.這題目我也覺得參考答案有錯.....
4. 總共有 1/2 *n(n-1)場比賽
因此總得分為 2*1/2*n(n-1)=n(n-1)-----
n與(n-1)為連續兩個數 答案一定為偶數
但是 2002是否就是正確答案呢
讓我們檢驗一下
2002=2*7*11*13-------不可能是這個答案
所以答案為 (D) 都不正確
若你要問..這個不好的題目該如何修改?
我建議把選項改為
(A) 91 (B) 182 (C) 362 (D) 364
答案為 (B) 182
<解答> 182=2*7*13=14*13

Answer 9

以下是我的算法...
給你做參考...^^"
1.
an+bn+cn不是等於n(a+b+c)嗎
n(a+b+c)不是又等於3n嗎....
怎可能會不是3的倍數呢...
2.
題目的意思就是哪2個平方數相差41的
當然就只有20跟21的平方押...
20平方不是400嗎...
那n-48=400
n=448對吧
再來就質因數分解吧...
448=2^6*7
則他的質因數當然只有2和7押
3.
當然以上皆非押...
你想想...
3的倍數的正整數個數是不是無限多個....
6的倍數的正整數個是不是也無限多個....
那無限多跟無限多哪個多呢.....
所以不能比押
4.
有n個學校
我用數字來幫學校命名比較清楚
第1所學校是不是要比n-1場呢(有計分的)
那第2所學校是不是要比n-2場呢...
因為跟第1所比過的不能再算進去押....
依此類推.....
第n所學校是不是比1場押(有計分的唷..)
所以種共的分數是不是2*[1*2*......*(n-2)*(n-1)]
[]內不是等差級數嗎....
所以總分不是等於2*[1*(n-1)(n-1)]/2
那三個數怎可能是平方數呢....
所以以上都不是....

以上有問題的話可以指教指教唷....^^"

2006-06-16 12:04:27 補充：
補充一下第2題.....如果要算式的話....依題目敘述不是知道2個平方數相差41嗎...那我們另那個數開根號為x(x+1)^2-x^2=2x+1=41則2x+1=41那x不是等於20嗎

2006-06-16 12:56:56 補充：
再度感到抱歉.....@@我第2題題目看錯哩....再解一次唷....^^"一題目我可以這樣設定n-48=x^2此為第一式+41=(x+y)^2此為第2式第2式減第一式得n+41-(n-48)=(x+y)^2-x^2=>89=2xy+y^2y(2x+y)=89然而89只能分解為1*89所以有2種情況...第一種y=1 x=44第二種y=89 x=-44而任一種情況代入原是都是一樣的^^"=>n-48=44^2=>n=1888而1888質因數分解1888=2^5*59所以他的質因數為2和59....希望不要再錯了

2006-06-16 13:00:24 補充：
再補充一下第3題的C選項...整數的個數當然比正整數多押...整數還有包括負整數唷.....所以比較多....

Answer 10

回答1
a=1,b=2,c=3
(A) a+b+c=6 .....為3的倍數
4*1+4*2+4*3=24.....為3的倍數
(B) 5*1+5*2+5*3=30....為3的倍數
(C) 6*1+6*2+6*3=36.....為3的位數
故答案為(D)以上皆是

回答4
那是陷阱題,也就是文字遊戲,
條件：每局贏者得2分，輸者得0分，平手的兩個學校各得1分
所以三個答案都有可能，但他說
今有三個同學統計了比賽中全部的得分數，分別是2001，2002，2003
所以是文字遊戲
其他二個我就不知如何解了！！因為看不太懂他的意思
數學有很多偷雞摸狗事情，像有時解不出來
建議你可以由答案代入題目中
答案就出現了～而且還百分百正確
因為有時無法記很多公式～只好如此囉！！
以前老師教我們的！我覺還滿受用的
而且我已快十年沒碰數學囉！！
所以無法為你全部解答！！SORRY