1+(1+3)+(1+3+5) +(1+3+5+7)+...

Question

1+(1+3)+(1+3+5) +(1+3+5+7)+(1+3+5+7+9)+...+ (1+3+5+....+n)
請問有公式嗎?怎麼推?

可以不要用平方和的公式來推嗎?
我想用這公式推平方和的公式

Answer 1

第一項 1=1^2
第二項 1+3=2^2
第三項 1+3+5=3^2
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第(n+1)/2項 1+3+5+7+...+n=[(n+1)/2]^2

統整後1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 -->平方和=[n*(n+1)*(2n+1)]/6 (加至第n項的和)

推導網頁 http://www.mathland.idv.tw/life/blocks.htm

Answer 2

當然沒辦法符合驗算，因為答案是(n+1)(n+2)(n+3)/24，我明天再解給你看。

2006-06-16 09:13:00 補充：
首先先找每一項的通式，1+3+5+.....+n是等差數列，首項是1，公差是2，末項是n，項數是(n+1)/2，那麼總和(每一項的通式)是(n+1)/2*(1+n)/2=[(n+1)/2]2所以每一項都是正整數的平方，而且是連續正整數的平方，連續正整數的平方總和公式：12+22+32+.....+k2=k(k+1)(2k+1)/6用k=(n+1)/2代入，原級數總和=[(n+1)/2]*[(n+3)/2]*[n+2]/6=(n+1)(n+2)(n+3)/24

Answer 3

(以下的"Σ"也代表"k= 1~n")
pf:
原式=Σ(1+3+5+...+2k-1)
=Σ(k^2)
=1^2+2^2+3^2+......+k^2
故得證

2006-06-16 13:15:13 補充：
最後一行是=1^2+2^2+3^2+......+n^2修正一下

Answer 4

http://www.mathland.idv.tw/life/blocks.htm
這個網站用圖示看起來是很合理，但是當驗算這個公式
[n*(n+1)*(2n+1)]/6
卻發現一直沒辦法符合驗算，很奇怪咧

Answer 5

所以1^2+2^2+3^2+4^2+.....+m^2 =m(m+1)(2m+1)/6

Answer 6

等於1^2+2^2+3^2+4^2+.....+m^2
m=(n+1)/2