一題代數的計算題

Question

a、b、c均為實數，且a+b+c=0，a²+b²+c²=1，
求a^4+b^4+c^4之值。

我直接令a=0、b=1/(√2)、c=-1/(√2)代進去算，
求出來是1/2；不過我想要更嚴謹的做法。

Answer 1

(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
0=1+2(ab+bc+ca)
(ab+bc+ca)=-1/2

(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)
1/4=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc*0
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=1/4

a^4+b^4+c^4=(a²+b²+c²)-2((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)
=1-2(1/4)
=1/2

Answer 2

將ab+bc+ac= - 1/2平方後
得(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(a^2)(c^2)+2abc(a+b+c)= 1/4


a^4+b^4+c^4=(a²+b²+c²)^2-2((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)

Answer 3

a+b+c=0
平方後
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0
又a^2+b^2+c^2=1
所以ab+bc+ac= - 1/2
將ab+bc+ac= - 1/2開平方後
得(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(a^2)(c^2)+2abc(a+b+c)= 1/4
又a+b+c=0 所以(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(a^2)(c^2)= 1/4
將a^2+b^2+c^2=1平方後
得a^4+b^4+c^4+2(a^2)(b^2)+2(b^2)(c^2)+2(a^2)(c^2) = 1
===>a^4+b^4+c^4+1/2=1
===>a^4+b^4+c^4=1/2
得証