二十點)請證明羅必達定理

Question

剛學到羅必達定理。可是書上都沒寫證明。請幫我證明好嗎?

給 1mL
您的式子中
= f'(a) / g'(a)
= lim [f'(x) / g'(x)]
這一段 我有 疑問。
可以這樣變嗎?

pf:
左= lim f(x)-f(a)/g(x)-g(a)[因為f(a)=g(a)=0,所以減0不影響結果,這是證明的技巧]
= lim f(x)-f(a)/x-a / g(x)-g(a)/x-a
= lim f(x)-f(a)/x-a / lim g(x)-g(a)/x-a
= f'(a) / g'(a)
= lim f'(x) / g'(x)
=右

明明是 變成 = f'(x)/g'(x)的
隨意加上 lim x->a 這樣子還和原來的一樣嗎?
誰能幫助我解決這個疑惑?

Answer 1

(因為極限x趨近a這個符號不好打，所以以下的" lim "即代表了"極限值x趨近a")

羅必得法則：
若 f(a)=0,g(a)=0,
證明 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
pf:
左= lim f(x)-f(a)/g(x)-g(a)[因為f(a)=g(a)=0,所以減0不影響結果,這是證明的技巧]
= lim f(x)-f(a)/x-a / g(x)-g(a)/x-a
= lim f(x)-f(a)/x-a / lim g(x)-g(a)/x-a
= f'(a) / g'(a)
= lim f'(x) / g'(x)
=右

2006-06-15 14:23:49 補充：
我想你是從這個步驟不了解= f'(a) / g'(a)= lim [f'(x) / g'(x)]..x→a這兩個是相等的沒錯因為 lim f'(x) = f'(a)........x→a而證明當中的式子只是變成除式取極限值所以是相同的這樣有回答到你的疑惑嗎

2006-06-15 16:51:51 補充：
羅必得法則是適用在0/0的情況
而∞/ ∞就必須先通分化簡了

Answer 2

不定型有0/0、 ∞/ ∞
那關於f(a)=∞，g(a)= ∞
要怎麼證明?

Answer 3

用均值定理證明不知道可不可以...
設f(x).g(x)在[a,b]上連續.在(a,b)上可微
則可找到一數c,c介於a,b之間
使得g'(c)[f(b)-f(a)]=f'(c)[g(b)-g(a)]

g'(c)[f(b)-f(a)]=f'(c)[g(b)-g(a)]...以下是說明這個式子
考慮F(x)=g(c)[f(b)-f(a)]-f(c)[g(b)-g(a)]
F(x)在[a,b]上連續.在(a,b)上可微
且F'(x)=g'(c)[f(b)-f(a)]-f'(c)[g(b)-g(a)]
由均值定理知:
可找到一數c,c介於a,b之間
使得F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)
因為
F(b)=g(b)[f(b)-f(a)]-f(b)[g(b)-g(a)]
=f(b)g(a)-g(b)f(a)

F(a)=g(a)[f(b)-f(a)]-f(a)[g(b)-g(a)]
=f(b)g(a)-g(b)f(a)
所以0=F'(c)(b-a)
則F'(c)=0
g'(c)[f(b)-f(a)]-f'(c)[g(b)-g(a)]=0
故得証

在上述變型中
令a固定,且f(a)=g(a)=0
則g'(c)f(b)=f'(c)g(b)
其中c介於a,b之間
即f(b)/g(b)=f'(c)/g'(c)
故
lim f(b)/g(b)=lim f'(c)/g'(c)
b→a .................c→a
就變成

lim f(b)/g(b)=lim f'(c)/g'(c)
x→a .................x→a

2006-06-14 23:01:58 補充：
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)x→a .................x→a 最後那裡是這樣..打錯了

2006-06-15 18:50:18 補充：
∞/ ∞...也可以ㄚ= =